ЭМПИРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Методы обработки ЭД опираются на базовые понятия теории вероятностей и математической статистики. К их числу относятся понятия генеральной совокупности, выборки, эмпирической функции распределения.
Под генеральной совокупностью понимают все возможные значения параметра, которые могут быть зарегистрированы в ходе неограниченного по времени наблюдения за объектом. Такая совокупность состоит из бесконечного множества элементов. В результате наблюдения за объектом формируется ограниченная по объему совокупность значений параметра x1, x2, …, xn. С формальной точки зрения такие данные представляют собой выборку из генеральной совокупности. Наблюдаемые значения xi называют вариантами, а их количество – объемом выборки n. Для того чтобы по результатам наблюдения можно было делать какие-либо выводы, выборка должна быть репрезентативной (представительной), т. е. правильно представлять пропорции генеральной совокупности. Это требование выполняется, если объем выборки достаточно велик, а каждый элемент генеральной совокупности имеет одинаковую вероятность попасть в выборку.
Пусть в полученной выборке значение x1 параметра наблюдалось n1 раз, значение x2 – n2 раз, значение xk – nk раз, n1 + n2 + … + nk= n. Совокупность значений, записанных в порядке их возрастания, называют вариационным рядом, величины ni – частотами, а их отношения к объему выборки ni = ni / n – относительными частотами (частостями). Очевидно, что сумма относительных частот равна единице. Другой формой вариационного ряда является ряд накопленных частот, называемый кумулятивным рядом.
Под распределением понимают соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами или частостями. Пусть nx – количество наблюдений, при которых случайные значения параметра Х меньше x. Частость события X<x равна nx / n. Это отношение является функцией от x и от объема выборки: Fn(x)= nx / n. Величина Fn(x) обладает всеми свойствами функции распределения:
· Fn(x) – неубывающая функция, ее значения принадлежат отрезку [0 – 1];
· если x1 – наименьшее значение параметра, а xk – наибольшее, то Fп(x)=0, когда x<=x1, и Fп(x)=1, когда x>xk .
Функция Fп(x) определяется по ЭД, поэтому ее называют эмпирической функцией распределения. В отличие от эмпирической функции Fn(x) функцию распределения F(x) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения, она характеризует не частость, а вероятность события X<x. Из теоремы Бернулли вытекает, что частость Fn(x) стремится по вероятности к вероятности F(x) при неограниченном увеличении n. Следовательно, при большом объеме наблюдений теоретическую функцию распределения F(x) можно заменить эмпирической функцией Fn(x).
Основные свойства функции Fn ( x).
1. 0 Fn(x) 1.
2. Fn (x) - неубывающая ступенчатая функция.
3. Fn(x) = 0, x x1 .
4. Fn(x) = 1, x > xn .
Пример 2.1 Задана выборка случайной величины X: {4 3 3 5 2 4 3 4 4 5}. Построить график эмпирической функции распределения Fn(x).
Решение. Вариационный ряд случайной величины имеет вид {2 3 3 3 4 4 4 4 5 5}. Затем выделяем полуинтервалы (-,2], (2,3], (3,4], (4,5], (5,+]. На полуинтервале (-,2] Fn(x)=0/10=0. При 2<x3 Fn(x)=1/10=0,1.
Аналогично определяем значения Fn(x) на остальных полуинтервалах:
.
График функции Fn(x)приведен на рис. 2.1.
Замечание. В каждой точке оси x, соответствующим значениям xi функция Fn(x) имеет скачок. В точке разрыва Fn(x) непрерывна слева и принимает значение, выделенное знаком .
ГИСТОГРАММА
При большом объеме выборки (понятие «большой объем» зависит от целей и методов обработки, в данном случае будем считать n большим, если n>40) в целях удобства обработки и хранения сведений прибегают к группированию ЭД в интервалы. Количество интервалов следует выбрать так, чтобы в необходимой мере отразилось разнообразие значений параметра в совокупности и в то же время закономерность распределения не искажалась случайными колебаниями частот по отдельным разрядам. Существуют нестрогие рекомендации по выбору количества M и размера h таких интервалов, в частности параметр M рекомендуется выбирать с помощью следующих соотношений:
где int(x) - целая часть числа x . Желательно, чтобы n без остатка делилось на M.
Графически статистический ряд отображают в виде гистограммы, полигона и ступенчатой линии. Часто гистограмму представляют как фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы длиною h, а высоты равны υi/(nh). Такую гистограмму можно интерпретировать как графическое представление эмпирической функции плотности распределения fn(x), в ней суммарная площадь всех прямоугольников составит единицу. Гистограмма помогает подобрать вид теоретической функции распределения для аппроксимации ЭД.
Полигоном называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки с координатами по оси абсцисс, равными серединам интервалов, а по оси ординат – соответствующим частостям.
Порядок построения гистограммы следующий.
1. Построить вариационный ряд, т.е. расположить выборочные значения в порядке возрастания: .
2. Вся область возможных значений разбивается на M непересекающихся и примыкающих друг к другу интервалов.
Ai, Bi- соответственно левая и правая границы i-го интервала (Ai+1= Bi);
hi= Bi- Ai- длина i-го интервала;
i- количество чисел в выборке, попадающих в i-тый интервал.
При использовании равноинтервального метода построения гистограммы параметры Ai, Bi, hiвычисляются следующим образом:
Если при подсчете значений какое-то число в выборке точно совпадает с границей между интервалами, то необходимо в счетчик обоих интервалов прибавить по 0,5.
В случае применения равновероятностного метода границы Ai, Biвыбираются таким образом, чтобы в каждый интервал попадало одинаковое количество выборочных значений:
i= = n / M.
В этом случае
3. Вычисляется средняя плотность вероятности для каждого интервала по формуле
4. На графике провести две оси: x и f*(x) .
5. На оси x отмечаются границы всех интервалов.
6. На каждом интервале строится прямоугольник с основанием hiи высотой Полученная при этом ступенчатая линия называется гистограммой, график которой приблизительно выглядит так, как показано на рис. 2.2.
Замечания.
1. Суммарная площадь всех прямоугольников равна единице.
2. В равновероятностной гистограмме площади всех прямоугольников одинаковы. По виду гистограммы можно судить о законе распределения случайной величины.
Достоинства использования гистограммы: простота применения, наглядность.
Пример 2.2. Вариационный ряд случайной величины x имеет вид:
-6,237 -6,229 -5,779 -5,139 -4,950 -4,919 -4,636 -4,560 -4,530 -4,526 -4,523 -4,511 -4,409 -4,336 -4,259 -4,055 -4,044 -4,006 -3,972 -3,944 -3,829 -3,794 -3,716 -3,542 -3,541 -3,431 -3,406 -3,384 -3,307 -3,181 -3,148 -3,124 -3,116 -2,892 -2,785 -2,734 -2,711 -2,637 -2,633 -2,428 -2,381 -2,339 -2,276 -2,222 -2,167 -2,111 -2,034 -1,958 -1,854 -1,803 -1,774 -1,755 -1,745 -1,713 -1,709 -1,566 -1,548 -1,480 -1,448 -1,353 -1,266 -1,229 -1,179 -1,130 -1,102 -1,060 -1,046 -1,035 -0,969 -0,960 -0,903 -0,885 -0,866 -0,865 -0,774 -0,721 -0,688 -0,673 -0,662 -0,626 -0,543 -0,445 -0,241 -0,174 -0,131 0,115 0,205 0,355 0,577 0,591 0,795 0,986 1,068 1,099 1,195 1,540 2,008 2,160 2,534 2,848
Построить гистограмму равноинтервальным и равновероятностным методами.
Решение. Объем выборки равен 100. Количество интервалов определяем так:
Для равноинтервального метода построения параметры Ai, Bi, i, hi, f* приведены в табл. 2.1.
Таблица 2.1.
i | Ai | Bi | i | hi | |
-6,237 | -5,3345 | 0,9085 | 0,033 | ||
-5,3345 | -4,426 | 0,9085 | 0,099 | ||
-4,426 | -3,5175 | 0,9085 | 0,143 | ||
-3,5175 | -2,609 | 0,9085 | 0,154 | ||
-2,609 | -1,7005 | 0,9085 | 0,176 | ||
1,7005 | -0,792 | 0.9085 | 0,209 | ||
-0,792 | 0,1165 | 0,9085 | 0,132 | ||
0,1165 | 1,025 | 0,9085 | 0,066 | ||
1,025 | 1,9335 | 0,9085 | 0.044 | ||
1,9335 | 2,848 | 0,9085 | 0,044 |
Ниже приведены интервальная таблица и график гистограммы для равновероятностного метода.
Таблица 2.2
i | Ai | Bi | i | hi | |
-6,2370 | -4,5245 | 1,7125 | 0.0584 | ||
-4,5245 | -3,8865 | 0,6380 | 0,1567 | ||
-3,8865 | -3,1645 | 0,7220 | 0,1385 | ||
-3,1645 | -2,4045 | 0,7600 | 0,1316 | ||
-2,4045 | -1,7885 | 0,6160 | 0,1623 | ||
-1,7885 | -1,3095 | 0,4790 | 0,2086 | ||
-1,3085 | -0,9319 | 0,3766 | 0,2655 | ||
-0,9319 | -0,5843 | 0,3476 | 0,2877 | ||
-0,5843 | 0,6932 | 1,2775 | 0,0783 | ||
0,6932 | 2,8480 | 2,1548 | 0,0464 |
Рис. 2.4
Рассмотренные представления ЭД являются исходными для последующей обработки и вычисления различных параметров.
Дата добавления: 2022-02-05; просмотров: 270;