Первая теорема Чебышева.


 

Теорема. При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию:

Доказательство: Рассмотрим величину Y равную

.

Определим числовые характеристики Yn my и DY.

Запишем неравенство Чебышева для величины Yn

Как бы ни было мало число e, можно взять n таким большим, чтобы выполнялось неравенство , где - сколь угодно малое число. Тогда

.

Переходя к противоположному событию:

Т.е. вероятность может быть сколь угодно близкой к 1.

1.4.2. Вторая теорема Чебышева:

Теорема. Если Х1.....Хn – последовательность попарно независимых СВ с МО mx1....mxn и дисперсиями Dx1..Dxn ограничены одним и тем же числом Dxi<L (i=1..n ) , L=const, тогда для любого e, d>0 – бесконечно малых

или

Доказательство: Рассмотрим СВ

.

Применим к Y неравенство Чебышева:

или

Заменим:

Как бы ни было мало число e, можно взять n таким большим, чтобы выполнялось неравенство , где - сколь угодно малое.

Т.е., взяв предел при n®¥ от обеих частей и получаем:

(так как вероятность не может быть больше 1).

 

Пример1.1. Производится большое число n независимых опытов, в каждом из которых некоторая случайная величина имеет равномерное распределение на участке [1,2]. Рассматривается среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины X. На основании Закона больших чисел выяснить, к какому числу а будет приближаться величина Y при n→∞. Оценить максимальную практически возможную ошибку равенства Y≈a.

Решение. .

.

.

Максимальное практически возможное значение ошибки .

ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ

 

Пусть произведены n независимых опытов, в каждом из которых возможно событие А с вероятностью р. Тогда относительная частота появления события А в n опытах стремится по вероятности к вероятности появления А в одном опыте.

Теорема Бернулли: При неограниченном увеличении числа опытов до n частота события А сходится по вероятности к его вероятности р: ,

где -- частота события А в n опытах, где m-число опытов в которых произошло событие А, n-число проведенных опытов или

или .

Событие Хi – число появлений события А в i-м опыте. СВ X может принимать только два значения: X=1 (событие наступило) и X=0 (событие не наступило). Пусть СВ Хi – индикатор события А в i-м опыте . Числовые характеристики хi: mi = p Di = pq.

Они независимы, следовательно, можем применить теорему Чебышева:

Дробь равна относительной частоте появлений события А в испытаниях Þ получаем

.

Пояснения: В теореме речь идет лишь о вероятности того, что при достаточно большом числе испытаний относительная частота будет как угодно мало отличаться от постоянной вероятности появления события в каждом испытании.

Теорема Бернулли объясняет, почему относительная частота при достаточно большом числе испытаний обладает свойством устойчивости и оправдывает статистическое определение вероятности: в качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней.



Дата добавления: 2022-02-05; просмотров: 267;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.009 сек.