Справочная информация

Интерполяция на практике используется только в тех случаях, когда значения координат узлов таблично заданной функции не искажены случайными ошибками. Наличие ошибок в значениях таблично заданной функции приводит к неправильному представлению о поведении реальной функции и, как следствие этого, делает бес­смыс­ленной её интерполяцию. В этом случае рекомендуется строить «сглаживающую» приближающую функцию, отражающую физику моделируемого процесса. Её график не обязан проходить через все узловые точки табличной функции, как показано на рис.1. Построение таких приближающих функций носит название аппро­ксимации.

Через множество узловых точек таблично заданной функции можно провести бесконечное количество аппроксимирующих кривых. Задача выбора единственной из них определяется двумя основными моментами:

- выбор аналитических зависимостей, отражающих физику взаимосвязи аргумента и реальной функции, когда должен быть определен общий вид приближающей функции;

- выбор критерия достоверности описания реальной функции с помощью выбранных зависимостей.

Существует множество подходов к построению вида приближающей функции, как функции с параметрами. Одним из них является выбор в качестве аппроксимирующей зависимости линейной комбинации некоторых известных аналитических функций. Вместе они должны отражать суть физического процесса, описываемого исходной функцией, и быть линейно независимыми на отрезке аппроксимации [x₁, x_n]

.

Функции φ_k(x) часто выбираются в виде полиномов, частным случаем которых являются степенные функции

φ₁(x) = 1, φ₂(x) = x, φ₃(x) = x², φ₄(x) = x³,…,

в виде тригонометрических косинусов

,

или в любом другом удобном для исследователя виде.

Другим подходом к построению приближающей функции является её представление сплайнами. Это избавляет исследователя от необходимости подбирать аналитические функции для аппроксимирующей зависимости и часто даёт результат, отвечающий всем требованиям, которые предъявляются к процессу аппроксимации.

В качестве критерия достоверности описания реальной функции Гауссом (1794) и Лежандром (A.M.Legendre, 1805) было предложено использовать сумму квадратов отклонений значений аппроксимирующей функции от ординат узлов таблично заданной

,

где отклонение от каждой узловой точки Δ_i, показанное на рис.2, вычисляется как

.

Сумма квадратов отклонений F при таком представлении является квадратичной функцией от параметров аппроксимации c₁, c₂,..., c_m. Очевидно, что чем меньше значение функции F, тем лучше выбранная аппроксимирующая функция описывает реальную функцию. Следовательно, задача аппроксимации сводится к определению значений параметров c₁, c₂, ..., c_m, которые минимизируют значение критерия – функции F. Этот приём получил название «метод наименьших квадратов».

Необходимым условием экстремума квадратичной функции многих переменных F является равенство нулю всех её частных производных по параметрам c₁, c₂, ..., c_m

.

Можно показать, что для функции F, являющейся суммой квадратов отклонений, достаточные условия существования её минимума в стационарной точке выполняются тождественно. Поэтому условиями существования экстремума функции F можно пользоваться как условиями её минимума, что позволяет привести задачу аппроксимации n значений табличной функции к задаче решения системы из m линейных алгебраических уравнений с симметричной матрицей относительно этих параметров

,

где

,

.

Работа метода может быть проиллюстрирована на примере аппроксимации функции, заданной 8-ю узловыми точками, показанными на рис.3, и поиска её значения при х = 1.5.

Для построения зависимости, аппроксимирующей таблично или графически заданную функцию, исследователь должен подобрать аналитические функций, которые своей комбинацией отражают описываемый процесс. В данном случае исходная функция может быть описана как комбинация двух функций. Первая из них должна отражать обратно пропорциональную зависимость функции от аргумента в диапазоне от 0 до 2, а вторая – прямо пропорциональную зависимость в диапазоне от 2 до 4. Таким образом, в качестве аппроксимационной зависимости может быть принята следующая

.

Необходимо заметить, что данное представление аппроксимирующей зависимости не является единственным. Можно подобрать и другие комбинации элементарных функций, которые отражают общий характер рассматриваемой табличной функции.

В соответствии с приведённым выше алгоритмом сумма F квадратов отклонений аппроксимирующей функции от узловых точек записывается в виде

Вычисления по этой формуле удобнее выполнять, сняв с графика координаты узловых точек и сформировав из них следующую таблицу

В этом случае сумма квадратов отклонений будет

а её частные производные по параметрам c₁ и c₂, соответственно

Исходя из условия равенства нулю полученных частных производных, решение задачи сводится к решению системы из двух линейных алгебраических уравнений

.

Эта система имеет следующее решение c₁= 0.1047, c₂= 0.4013. Таким образом, аппроксимирующая функция имеет вид

.

Её значения при табличных значения аргумента приведены ниже

С их помощью может быть вычислено значение целевой функции F

которое определяет погрешность аппроксимации

, ,

где норма таблично заданной функции была вычислена следующим образом

.

Решение этой задачи на ПЭВМ в программе Excel будет несколько отличаться от приведенного выше «ручного счета». Программа Excel не позволяет производить аналитические преобразования, поэтому при вычислении коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений следует использовать приведенные выше общие выражения. В данном случае они вычисляются с использованием следующих выражений:

, ,

,

, .

Решение задачи начинается с ввода исходных данных в виде таблицы значений сглаживаемой функции и её графика (см. рис.4). Затем выполняется вычисление коэффициентов системы уравнений, определяющей коэффициенты c₁ и c₂ аппроксимационной зависимости. Это делается в таблице, каждая строчка которой соответствует одной узловой точке. В последней строке столбцы суммируются для получения окончательных значений коэффициентов.

Система линейных алгебраических уравнений решается с использованием встроенной функции Excel’а построения обратной матрицы системы.