Справочная информация

Задача Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений записывается в виде

,

или в матричной форме

, ,

где

, , .

Система дифференциальных уравнений связывает независимую переменную x, искомые функции y₁, y₂,..., y_n и их первые производные. В данном случае решение задачи Коши заключается в отыскании функций y₁ = y₁(x), y₂ = y₂(x),..., y_n = y_n(x), обращающих каждое уравнение системы в тождество на конечном или бесконечном интервале (a, b) и удовлетворяющих начальным условиям.

Такая форма записи задачи Коши является канонической для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. К ней могут быть приведены как любые другие формы представления систем дифференциальных уравнений, разрешённых относительно старших производных, так и дифференциальные уравнения высших порядков. Приведение дифференциальных уравнений высших порядков к нормальной системе дифференциальных уравнений осуществляется по следующей схеме. Если дана задача Коши следующего вида

,

, , , … , ,

то замена переменных

, , , … , ,

сводит её к нормальной системе дифференциальных уравнений с начальными условиями

, ,

образующих задачу Коши.

Для решения такой задачи Коши используются те же методы, что для обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Это обуславливается тем, что матричная форма записи задачи Коши для нормальной системы полностью совпадает с её формулировкой для этих уравнений. Аналогична для неё и теорема о существовании единственного решения. Единственным отличием здесь является то, что вместо функций y(x) и f(x, y) используются вектор-функции y и f, состоящие из n функций y₁(x), y₂(x),..., y_n(x) и f₁(x, y₁,..., y_n), f₂(x, y₁,..., y_n),..., f_n(x, y₁,..., y_n), соответственно. При этом расчётные схемы методов и оценки их погрешностей сохраняются.

Метод Эйлера

Соотношения метода Эйлера для нормальной системы в матричной форме имеют вид

,

или в развёрнутой форме

, ,

где верхний индекс показывает номер шага по аргументу x.

Геометрическая интерпретация работы метода Эйлера решения задачи Коши для нормальной системы идентична его геометрической интерпретации для дифференциальных уравнений 1-го порядка. Однако в данном случае движение осуществляется вдоль некоторой кривой в (n + 1)-мерном пространстве переменных x, y₁, y₂,..., y_n, которая является геометрическим представлением вектор-функции y.