Погрешность выполнения арифметических операций

Выбор длины разрядной сетки и формы представления чисел тесно связан с точностью получаемых при арифметических операциях результатов. При выполнении операций над числами с фиксированной запятой можно считать, что результат точен (при условии отсутствии переполнения).

При выполнении операций над числами, представленными в форме с плавающей запятой, требуется выравнивание порядков. Это может приводить к потере некоторых разрядов мантиссы.

Рассмотрим арифметические операции над операндами, заданными с абсолютными погрешностями: А=[A]+∆A и B=[B]+∆B.

A+B=[A]+[B]+(∆A+∆B),

где абсолютная погрешность суммы ∆(A+B)=∆A+∆B.

A-B=[A]-[B]+(∆A-∆B),

где абсолютная погрешность разности ∆(A-B)=∆A-∆B.

A×B=[A][B]+[A]∆B+[B]∆A+∆A∆B.

Произведением ∆A∆B можно пренебречь, следовательно,

A×B≈[A][B]+[A]∆B+[B]∆A,

то есть абсолютная погрешность произведения ∆(AB)≈[A]∆B+[B]∆A.

При выполнении операции деления

абсолютная погрешность частного ∆(A/B)=∆A/[B]-[A]∆B/([B])².

Округление

Речь идет об округлении только дробных чисел, целые не округляются. Так как в ЭВМ используются числа с конечным числом разрядов, а также часто выполняются операции приведения данных одной размерности к данным другой, то операция округления выполняется достаточно часто.

В общем виде число с плавающей запятой, размещенное в разрядной сетке размерностью k, имеет вид A_r=m_ar^k . Если для записи мантиссы используются только n разрядов, то число может быть представлено в виде двух частей: A_r=[m_a]rⁿ+[A₀]r^k-n, где [A₀]r^k-n=A₀ – часть числа, не вошедшая в разрядную сетку размерностью k.

В зависимости от того, как учитывается А₀ при записи числа А в n–раз-рядную сетку, можно выделить несколько способов округления чисел.

1. Отбрасывание А₀. При этом возникает относительная погрешность

õ_окр=|А₀|r^k-n/(|m_A|rⁿ), так как r ^-1≤ |m_A| <1, 0≤ |A₀| <1, то õ_окр=r^--(n-1).

2. Симметричное округление. При этом производится анализ величины А₀:

При условии |А₀|≥r^-1 единица добавляется к младшему разряду мантиссы. Данный способ округления наиболее часто используется на практике.

3. Округление по дополнению. В этом случае для округления используется (n+1)-й разряд. Если в нем находится единица, то она передается в n-й разряд, иначе разряды начиная с (n+1)-го отбрасываются.

4. Случайное округление. Генератор случайных чисел формирует нулевое или единичное значение, посылаемое в младший разряд мантиссы.

Оценка точности вычислений зависит как от вида выполняемых операций, так и от последовательности их следования друг за другом.

Нормализация чисел

Число называется нормализованным, если его мантисса удовлетворяет условию r ^-1 ≤ |M_A|<1.

Нормализация – процесс, относящийся к числам, записанным в форме с плавающей запятой. Число A =0,00101…1 – денормализованное (признак нарушения нормализации вправо). Для нормализации число нужно сдвинуть в сторону, противоположную направлению нарушения нормализации. Таким образом, в примере мантиссу числа А необходимо сдвинуть влево на два разряда. При этом порядок необходимо уменьшить на два. Различают два вида сдвигов: простой и модифицированный.

Простой сдвиг – сдвиг, выполняемый по правилу:

Модифицированный сдвиг - сдвиг, при котором в сдвигаемый разряд заносится значение, совпадающее со значением знакового разряда.

Нарушение нормализации вправо может быть более глубоким при вычитании, например, одного числа из другого, если они близки по величине.