Перевод чисел из одной системы счисления в другую, основание которой кратно степени 2
К таким системам относятся двоичная, четверичная, восьмеричная и т.д. системы счисления.
A8 = .
Ограничимся тремя восьмеричными разрядами, придавая i значения 0,1,2.
+ (младшая восьмеричная цифра с весом 80 )
+ +
+
При переводе числа из двоичной системы счисления в восьмеричную необходимо разделить его разряды на триады, начиная с младших разрядов, и каждую триаду заменить восьмеричной цифрой.
Пример: А8 = 45 А2= 0010 0101
100 101 = А2 2 5 = А16
Кодирование чисел
Кодирование знака числа. Кодирование чисел позволяет заменить операцию арифметического вычитания операцией алгебраического сложения с помощью двоичного сумматора. Для кодирования знака числа используется специальный двоичный разряд, называемый знаковым. При этом знак плюс кодируется двоичной цифрой 0, а минус – цифрой 1 (для системы счисления с основанием r – цифрой r-1). Для машинного представления отрицательных чисел используют три основных вида кодов: прямой, обратный и дополнительный. Общая схема кода числа: код знака . код числа.
Прямой код числа. При этом способе кодирования чисел кодируется только знак числа, а значащая часть остается без изменения.
Пример: A=+0,1101 A= - 0,1101
[A]пр=0,1101 [A]пр=1,1101
Пример: A = + 1101 A = - 1101
[A]пр=0.1101 [A]пр=1.1101
Диапазон изменения машинных изображений для прямого кода лежит в пределах: -(1-2-n) [A]пр (1-2-n).
Недостатком прямого кода является сложность выполнения операции сложения чисел с разными знаками.
Для арифметических операций над числами в прямом коде используется сумматор прямого кода. В этом сумматоре отсутствует цепь поразрядного переноса между старшим значащим и знаковым разрядами, то есть на этом сумматоре невозможно выполнение операции алгебраического сложения.
Дополнительный код числа. Число А' называется дополнением к числу А, если выполняется соотношение: А + А¢ = rn для целых чисел или А + А'=r0 для дробных чисел, где n – количество цифр в записи числа A.
Пример: A10 =378
n=3
A10' =103 – А10=1000 - 378=622
621 - все разряды дополняются до младшей цифры системы счисления
1 - младший разряд дополняется до основания системы счисления
n=4
А2 =1011, A2 '=24 - А=10000 - 1011 = 0101, или А2' = 0101
Замена операции вычитания операцией сложения. В ЭВМ достаточно сложно выполнить операцию вычитания (А-В). Для этого требуется:
1) сравнить числа и выявить наибольшее из них по абсолютной величине;
2) наибольшее число разместить на входах вычитающего устройства;
3) выполнить операцию вычитания;
4) присвоить значению разности знак наибольшего по абсолютной величи-
не числа.
Для сложения чисел в дополнительных кодах требуется сумматор и неважно, какие слагаемые подаются на его входы А или В. Пусть необходимо сложить
А = 487 А = 487
В = -348 В = 652
А-В = 139 А-В = 1 139
А + (103 – В) = А-В+103 (103 игнорируется).
А = 348 А = 348
В = -487 В = 513
А-В = -139 А-В = 861
Дополнительный код отрицательных чисел является математическим дополнением абсолютной величины числа до основания r системы счисления для дробных чисел и до rn для целых чисел.
- для дробных чисел, - для целых чисел,
где - абсолютное значение числа А, n – число цифр числа.
Положительные числа в дополнительном коде не меняют своего изображения. Правило преобразования числа в дополнительный код можно записать:
Рассмотрим несколько примеров сложения чисел в дополнительных кодах.
А= 0,1001 [A]доп = 0,1001 А= - 0,1001 [A]доп = 1,0111
В= - 0,0100 [B]доп = 1,1100 В= 0,0100 [B]доп = 0,0100
10,0101 1,1011
Теорема. Сумма дополнительных кодов чисел есть дополнительный код результата.
Доказательство теоремы приведено в [1].
Теорема справедлива для всех случаев, в которых не возникает переполнения разрядной сетки, что позволяет складывать машинные представления чисел по правилам двоичной арифметики, не разделяя знаковую и значащую части числа. Для выполнения арифметических операций над числами в дополнительном коде используется двоичный сумматор дополнительного кода, характерной особенностью которого является наличие поразрядного переноса из старшего значащего в знаковый разряд.
Обратный код числа. Обратный код двоичного числа является инверсным изображением числа, в котором все разряды исходного числа принимают инверсное (обратное) значение. Правила преобразования чисел в обратный код аналитически можно определить следующим образом:
,
.
Выполнение арифметических операций над числами в обратном коде осуществляется на сумматоре обратного кода. Этот код имеет несущественный недостаток: требует наличия в сумматоре цепи циклического переноса из знакового разряда в младший значащий. Это может привести к увеличению времени выполнения арифметических операций. Ниже приведены несколько примеров выполнения арифметических операций над числами, записанными в обратном коде.
А= 0,1001 [A]обр = 0,1001 А= - 0,1001 [A]обр = 1,0110
В= - 0,0100 [B]обр = 1,1011 В= 0,0100 [B]обр = 0,0100
10,0100 1,1010
1
0,0101
Теорема. Сумма обратных кодов чисел есть обратный код результата.
Доказательство теоремы приведено в [1].
Дата добавления: 2022-02-05; просмотров: 255;