Машинные формы представления чисел

Существуют два основных способа представления данных в ЭВМ: с фиксированной и плавающей запятой.

Представление чисел в форме с фиксированной запятой. Для сокращения длины разрядной сетки и упрощения обработки данных положение запятой может быть зафиксировано схемотехнически. При этом в слове данных сохраняются только две структурных компоненты: поле знака и поле цифр.

Определим диапазон представления чисел для этого формата.

А_max=(2^k-1)+(1-2^-l),

где k - число разрядов целой, а l – дробной части числа (k+l=n).

В зависимости от размеров целой и дробной частей возможно следующее:

± ,1 1 . . .1 1

1) k=0, l=n A_max=1-2^-n

± 1 1 . . .1 1,

2) k=n, l=0 A_max=2ⁿ-1

± , 0 0 . . .0 1

3) k=0, l=n A_min=2^-n

± 0 0 . . .0 1,

4) k=n, l=0 A_min=1

Очевидно, что ограничение длины разрядной сетки приводит к ограничению диапазона хранимых чисел и потере точности их представления. Поэтому на практике широко используется и другая форма представления чисел.

Представление чисел в форме с плавающей запятой.В общем виде числа с плавающей запятой имеют следующий вид:

A=±m_Ar±^p_A,

где m_A- мантисса, а р_A- порядок числа А. Порядок (с учетом знака) показывает, на сколько разрядов и в какую сторону сдвинута запятая при замене формы записи числа с естественной на нормальную.

Например, А₁₀ = 239,745 = 0,239745·10³ = 239745·10^-3.

Наиболее распространено и удобно для представления в ЭВМ ограничение вида r^-1≤½m_A½<1.

Форма представления чисел, для которых справедливо данное ограничение, называется нормализованной. Так как абсолютное значение мантиссы в этом случае лежит в диапазоне от r^-1 до 1-r^-n, где n – число разрядов мантиссы без знака, то положение разрядов числа в его машинном изображении непостоянно. Отсюда и название этой формы представления чисел – с плавающей запятой. Формат машинного изображения чисел с плавающей запятой должен включать знаковые поля (мантиссы и порядка), поле мантиссы и поле порядка числа и имеет следующий вид:

Для данного формата разрядной сетки можно записать следующий диапазон представления чисел:

Для упрощения операций над порядками применяют представление чисел с плавающей запятой со смещенным порядком: p¢=p+N, где N – целое положительное число (смещение), N= max(-p). Обычно N=2^k, где k- число двоичных разрядов в поле цифр несмещенного порядка. В этом случае поле знака порядка избыточно, так как p¢ всегда положительно. Такие смещенные порядки называют характеристиками. В зависимости от типа данных числа с плавающей запятой в памяти ЭВМ хранятся в одном из следующих трех форматов:

При выполнении арифметических операций над числами с плавающей запятой может получаться результат, выходящий за пределы диапазона представления чисел, при этом выход за правую границу диапазона принято называть переполнением порядка (получение очень большого числа), а выход за левую границу – исчезновением порядка (потерей порядка) – получение очень малого числа, близкого к нулю.

В стандарте IEEE крайние значения порядка (характеристики) зарезервированы и не используются для представления обычных чисел. Максимальное значение характеристики, представленное всеми единицами при положительном знаке числа, зарезервировано для представления значения (+ ∞) при нулевой мантиссе. При знаке минус число с максимальной характеристикой используется для представления (- ∞) и неопределенности. Значение с минимальной характеристикой, равной нулю, зарезервировано для представления денормализованных чисел (положительных и отрицательных), а также для представления нуля (представляется всеми нулями), причем различают +0 и –0.