Задания для текущего контроля и способов быстрой проверки и оценки его результатов
Вариант №1 | Вариант №2 |
1. Сформулируйте следующие определения | |
Что такое вектор? Что такое длина вектора? Какие векторы называются коллинеарным? | Какой вектор называется нулевым? Какие векторы называются равными? Какие векторы называются сонаправленными? |
2. Даны векторы: . | |
Укажите пары коллинеарных векторов. | Укажите пары противоположно направленных векторов. |
3. Вычислите скалярное произведение векторов и , если | |
Билет № 22.Прямая на плоскости.
Пусть на плоскости задана некоторая аффинная система координат и прямая l.
I. Каноническое уравнение прямой.Выберем произвольную точку M0(x0 ; y0 ) Î l и зафиксируем направляющий вектор a(a, b) этой прямой. Тогда справедливы следующие эквивалентности: X(x; y) Î l Û (x–x0 ; y–y0) || a(a; b)Û = Û Û = 0 . Итак, координаты точек, расположенных на прямой l, и только они удовлетворяют следующим эквивалентным друг другу каноническим уравнениям прямой:
II. Параметрическое уравнение прямой.Из теории определителей известно, что Û $ t Î R Û $ t Î R . Таким образом, получаем параметрическое уравнение прямой:
III. Общее уравнение прямой. Преобразуем каноническое уравнение прямой: Û b×(x–x0)–a×(y–y0 ) = 0 Û b×x+(–a)×y+(–b×x0+a×y0) = 0 Û A×x+B×y+C = 0, где A = b, B = –a, C = –b×x0+a×y0 и A2+B2 ¹ 0 , т.к. координаты a, b направляющего вектора одновременно не обращаются в ноль.
Пусть теперь задано уравнение A×x+B×y+C = 0, где A2+B2 ¹ 0. Докажем, что множество L = {M(x; y) Î p | A×x+B×y+C = 0 } является прямой на плоскости. Действительно, выберем в множестве L произвольную точку M0(x0 ; y0 ): это всегда можно сделать, т.к. коэффициенты A, B не равны одновременно нулю (например, если B ¹ 0, то x0 можно выбрать произвольно, а y0 = – ×x0– ). Таким образом, A×x0+B×y0+C = 0, т.е. С = –A×x0–B×y0 . Если теперь положить a = –B, b = A и рассмотреть вектор а(a; b), то а ¹ 0 т.к. a2+b2 = = A2+B2 ¹ 0 и можно через т. M0(x0 ; y0) провести прямую l с направляющим вектором а. Ввиду предыдущих эквивалентностей (с учётом A = b, B = –a, C = –b×x0+a×y0 и A2+B2 ¹ 0) получаем A×x+B×y+C = 0 Û – каноническое уравнение прямой l.
Итак, любая прямая l может быть задана с помощью уравнения A×x+B×y+C = 0 (A2+B2 ¹ 0), которое называется общим уравнением прямой на плоскости. Обратно, каждое общее уравнение A×x+B×y+C = 0 (A2+B2 ¹ 0) задаёт на плоскости некоторую прямую с направляющим вектором а(–B; A).
Теорема (об общем уравнении прямой на плоскости). (1) Каждая прямая на плоскости задаётся некоторым общим уравнением вида A×x+B×y+C = 0 (A2+B2 ¹ 0).
(2) Каждое общее уравнение A×x+B×y+C = 0 (A2+B2 ¹ 0) однозначно определяет некоторую прямую на плоскости.
(3) Два общих уравнения A1×x+B1×y+C1 = 0, A2×x+B2×y+C2 = 0 (A12+B12 ¹ 0 ¹ A22+B22), задают одну и ту же прямую на плоскости тогда и только тогда, когда коэффициенты этих уравнений пропорциональны: = = = l Î R \ {0}.
(4) При аффинной замене координат общее уравнение прямой преобразуется снова в общее уравнение прямой, т.е. вид общего уравнения прямой инвариантен при аффинных преобразованиях координат.
IV. Уравнение прямой в отрезках. Полученное уравнение + = 1 называется уравнением прямой в отрезках. Смысл названия раскроется, если выяснить геометрический смысл величин a, b : эта прямая пересекает ось x в точке (a; 0), а ось y – в точке (0; b). Таким образом, величины a и b определяют отрезки, отсекаемые прямой на координатных осях (см. рис).
V. Нормальное уравнение прямой. Любую прямую можно задать уравнением A×x+B×y+C = 0, где A2+B2 = 1, которое называют нормальным уравнением прямой. Смысл этого названия можно понять, если ввести следующее определение: вектор единичной длины, перепендикулярный к заданной прямой, называется вектором нормали для этой прямой.
VI. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пусть, по-прежнему, система координат декартова, и на плоскости дана прямая A×x+B×y+C = 0, (A2+B2 ¹ 0), не параллельная оси ординат, т.е. a(–B; A) e2(0; 1) Û ¹ или B ¹ 0. Тогда A×x+B×y+C = 0 Û Û y = k×x+b, где k = , b = . Уравнение вида y = k×x+b называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.
Выясним геометрический смысл углового коэффициента k. Ясно, что прямая, параллельная оси абсцисс, имеет уравнение y = b и угловой коэффициент k = 0.
В случае k ¹ 0 можновзять любые две различные точки на прямой: M0(x0 ; k×x0+b) и M1(x1; k×x1+b). Тогда вектор a = (x1–x0 ; k×(x1–x0)) будет направляющим и k = = –tg a = –tg(p–j) = tg j (см. рис.). Здесь рассмотрен случай k < 0.
Т.о., угловой коэффициент k – это тангенс угла наклона прямой, т.е. угла между прямой и осью абсцисс, отсчитываемого от оси абсцисс до прямой против часовой стрелки. В случае, когда прямая параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, угол её наклона считается равным нулю.
Пример.Написать все виды уравнений прямой, делящей стороны AB и AC треугольника ABC в отношениисоответственно, если A(–5; 6), B(3; –4), C(8; 8) (система координат декартова).
Решение. Прямая проходит через точки D(a; b) и E(g ; d) со свойствами (a+5; b–6)= = × (3–a; –4–b) и (g+5; d–6) = × (8–g; 8–d). Поэтому и , т.е. D( – ; ) и E( ; ), ( ; ).
Итак, пишем уравнения прямой, проходящей через точку D( – ; ) с направляющим вектором а(5; 12) || .
1) каноническое уравнение прямой (DE): = или = 0.
2) параметрическое уравнение прямой (DE): , (t Î R).
3) общее уравнение прямой (DE): 12×(7×x+11) = 5×(7×y–12) или после преобразований 84×x–35×y+192 = 0.
4) уравнение прямой (DE) в отрезках: + = 1.
5) нормальное уравнение прямой (DE): ×x – ×y+ = 0.
6) уравнение прямой (DE) с угловым коэффициентом: y = ×x + .
Дата добавления: 2021-12-14; просмотров: 393;