Определение углов закручивания брусьев круглого поперечного сечения и расчеты на жесткость

Угол взаимного закручивания концевых сечений участка стержня длиной определяется по формуле:

(6.11)

здесь – крутящий момент, постоянный по длине участка; l – длина участка; G – модуль упругости материала при сдвиге (модуль упругости 2-го рода).

Произведение называется жесткостью поперечного сечения при кручении.

Если крутящий момент по длине участка M_t(x) есть величина переменная, то взаимный угол закручивания концевых сечений участка определится по формуле:

. (6.12)

Чтобы определить полный угол закручивания a какого-либо сечения j бруса по отношению к закрепленному сечению (там угол закручивания равен нулю), нужно взять сумму углов закручивания на всех n участках, заключенных между неподвижным (закрепленным) и рассматриваемым j-м сечениями:

(6.13)

Относительный угол закручивания , т.е. угол закручивания, приходящийся на единицу длины, определяется по следующей формуле:

(6.14)

Условие жесткости бруса, работающего на кручение, если ограничен относительный угол закручивания , запишется в виде

(6.15)

где – допускаемый относительный угол закручивания (рад/м); – наибольший по модулю относительный угол закручивания по длине бруса.

Используя условие жесткости (6.15), можно решать следующие задачи:

1. Проверить жесткость бруса, т.е. проверить выполнение условия (6.15).

2. Определить диаметр бруса из условия жесткости (подбор сечения).

Для этого из формулы (6.15) вычисляем требуемое значение полярного момента инерции:

Приравнивая требуемую величину к выражению (6.6) или (6.8), т.е. I_r = , определим диаметр поперечного сечения d или d_ext.

3. Вычислить допускаемое значение крутящего момента для бруса заданного диаметра при известном значении G:

Если ограничен полный угол закручивания сечения [a] (в радианах) для всего стержня, то условие жесткости запишется в следующем виде:

. (6.15)'

Здесь – наибольший полный угол закручивания сечения по отношению к закрепленному, который берется из эпюры a.

При подборе сечения по данному условию жесткости эпюра a строится при неизвестном диаметре, при GI_p = const.

Используя условие жесткости (6.15)', также можно решать приведенные выше три типа задач.

ПРИМЕР 6.1

Требуетсяподобрать диаметр бруса кольцевого сечения, (рис. 6.3), по условиям прочности и жесткости при следующих исходных данных:

РЕШЕНИЕ

1. Построение эпюры крутящих моментов. Наметим два грузовых участка и в пределах каждого проводим произвольное сечение.

Рассматривая от каждого сечения правую отсеченную часть (так как там нет опоры), вычисляем величины крутящих моментов, используя следующее рабочее правило, вытекающее из метода сечений:

Крутящий момент в любом сечении бруса численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения относительно продольной оси бруса в месте сечения.

Правило знаков для крутящих моментов:

Крутящий момент будем считать положительным, если при взгляде на сечение со стороны внешней нормали он будет закручивать отсеченную часть по ходу часовой стрелки. В этом случае внешний закручивающий момент М_Х будет действовать против хода часовой стрелки (рис. 6.4). Знак М будет отрицательным, если направление момента М будет противоположным.

На обоих участках крутящие моменты постоянны. По этим значениям строим эпюру (см. рис. 6.3в), из которой получаем:

2. Подбор сечения из условия прочности.

Определяем требуемый полярный момент сопротивления из условия прочности:

Используем соотношение (6.8) для бруса кольцевого сечения:

Приравниваем

Отсюда при заданном К = 0,8 находим d_ext = 6,37 см.

3. Подбор сечения по условию жесткости. Из условия жесткости (6.15) определим требуемое значение полярного момента инерции по следующей формуле: Откуда

В это соотношение подставляется в радианах, поэтому заданный угол выразим в радианах:

Из условия получим:

Отсюда определяем d_ext (по условию задачи К = 0,8):

171,2 =

После округления примем d_ext = 7,4, тогда

d_int = 0,8 × d_ext = 0,8 × 7,4 = 5,92 см.

По результатам расчетов на прочность и жесткость видно, что по условию жесткости диаметр бруса требуется больше, чем по условию прочности (7,4 см > 6,37 см).

Окончательно принимаем больший диаметр:

d_ext = 7,4 см, d_int = 5,92 см.

Проверим прочность и жесткость подобранного сечения.

Предварительно определим полярный момент сопротивления и полярный момент инерции подобранного сечения:

Условия прочности и жесткости выполняются.