Определение углов закручивания брусьев круглого поперечного сечения и расчеты на жесткость
Угол взаимного закручивания концевых сечений участка стержня длиной определяется по формуле:
(6.11)
здесь – крутящий момент, постоянный по длине участка; l – длина участка; G – модуль упругости материала при сдвиге (модуль упругости 2-го рода).
Произведение называется жесткостью поперечного сечения при кручении.
Если крутящий момент по длине участка Mt(x) есть величина переменная, то взаимный угол закручивания концевых сечений участка определится по формуле:
. (6.12)
Чтобы определить полный угол закручивания a какого-либо сечения j бруса по отношению к закрепленному сечению (там угол закручивания равен нулю), нужно взять сумму углов закручивания на всех n участках, заключенных между неподвижным (закрепленным) и рассматриваемым j-м сечениями:
(6.13)
Относительный угол закручивания , т.е. угол закручивания, приходящийся на единицу длины, определяется по следующей формуле:
(6.14)
Условие жесткости бруса, работающего на кручение, если ограничен относительный угол закручивания , запишется в виде
(6.15)
где – допускаемый относительный угол закручивания (рад/м); – наибольший по модулю относительный угол закручивания по длине бруса.
Используя условие жесткости (6.15), можно решать следующие задачи:
1. Проверить жесткость бруса, т.е. проверить выполнение условия (6.15).
2. Определить диаметр бруса из условия жесткости (подбор сечения).
Для этого из формулы (6.15) вычисляем требуемое значение полярного момента инерции:
Приравнивая требуемую величину к выражению (6.6) или (6.8), т.е. Ir = , определим диаметр поперечного сечения d или dext.
3. Вычислить допускаемое значение крутящего момента для бруса заданного диаметра при известном значении G:
Если ограничен полный угол закручивания сечения [a] (в радианах) для всего стержня, то условие жесткости запишется в следующем виде:
. (6.15)'
Здесь – наибольший полный угол закручивания сечения по отношению к закрепленному, который берется из эпюры a.
При подборе сечения по данному условию жесткости эпюра a строится при неизвестном диаметре, при GIp = const.
Используя условие жесткости (6.15)', также можно решать приведенные выше три типа задач.
ПРИМЕР 6.1
Требуетсяподобрать диаметр бруса кольцевого сечения, (рис. 6.3), по условиям прочности и жесткости при следующих исходных данных:
РЕШЕНИЕ
1. Построение эпюры крутящих моментов. Наметим два грузовых участка и в пределах каждого проводим произвольное сечение.
Рассматривая от каждого сечения правую отсеченную часть (так как там нет опоры), вычисляем величины крутящих моментов, используя следующее рабочее правило, вытекающее из метода сечений:
Крутящий момент в любом сечении бруса численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения относительно продольной оси бруса в месте сечения.
Правило знаков для крутящих моментов:
Крутящий момент будем считать положительным, если при взгляде на сечение со стороны внешней нормали он будет закручивать отсеченную часть по ходу часовой стрелки. В этом случае внешний закручивающий момент МХ будет действовать против хода часовой стрелки (рис. 6.4). Знак М будет отрицательным, если направление момента М будет противоположным.
На обоих участках крутящие моменты постоянны. По этим значениям строим эпюру (см. рис. 6.3в), из которой получаем:
2. Подбор сечения из условия прочности.
Определяем требуемый полярный момент сопротивления из условия прочности:
Используем соотношение (6.8) для бруса кольцевого сечения:
Приравниваем
Отсюда при заданном К = 0,8 находим dext = 6,37 см.
3. Подбор сечения по условию жесткости. Из условия жесткости (6.15) определим требуемое значение полярного момента инерции по следующей формуле: Откуда
В это соотношение подставляется в радианах, поэтому заданный угол выразим в радианах:
Из условия получим:
Отсюда определяем dext (по условию задачи К = 0,8):
171,2 =
После округления примем dext = 7,4, тогда
dint = 0,8 × dext = 0,8 × 7,4 = 5,92 см.
По результатам расчетов на прочность и жесткость видно, что по условию жесткости диаметр бруса требуется больше, чем по условию прочности (7,4 см > 6,37 см).
Окончательно принимаем больший диаметр:
dext = 7,4 см, dint = 5,92 см.
Проверим прочность и жесткость подобранного сечения.
Предварительно определим полярный момент сопротивления и полярный момент инерции подобранного сечения:
Условия прочности и жесткости выполняются.
Дата добавления: 2021-12-14; просмотров: 298;