Свойства вероятности

1) Вероятность любого события принимает значения из промежутка [0, 1],

2) Вероятность достоверного события P(U) = 1.

3) Если события А и В несовместны, то

P(A+B) = P(A)+P(B)

Доказательство: Пусть имеется полная группа попарно несовместных и равновозможных исходов Q={E₁,E₂, …,E_n} некоторого испытания. И пусть событию А благоприятствуют m₁ исходов из этой группы, а событию В – m₂ исходов. Так как события А и В несовместны, то те исходы, которые благоприятствуют событию А не могут благоприятствовать событию В. Следовательно событию А+В благоприятствуют m₁+m₂ исходов группы Q.

4) Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, U = U+V, тогда по свойству (3) 1 = P(U+V) = P(U)+P(V). Учитывая, что P(U) = 1, имеем 1 = 1+ P(V) или P(V) = 0.

5) Вероятность события , противоположного событию А, вычисляется по формуле

6) Если событие А влечет за собой событие В ( ), то .

Примеры.

1. В урне лежат 5 белых и 2 черных шаров. Наудачу вынимают один шар. Найти вероятность, что он окажется белым.

Решение: Обозначим событие, состоящее в том, что вынутый шар будет белый через А.

Число исходов, благоприятствующих этому событию m = 5, а число всех возможных исходов равно n = 7. Тогда искомая вероятность равна

.

2. Абонент забыл две последние цифры телефона, но, помня, что они различные, набирает их наугад. Какова вероятность, что он наберет правильный номер?

Решение: Событие А – набран правильный номер телефона.

m = 1 – число исходов, благоприятствующих событию А.

- число всевозможных исходов. Тогда

.

3. В партии из 36 изделий 4 изделия второго сорта, остальные – первого. Наудачу берется 5 изделий. Найти вероятность, что среди них окажется:

а) два изделия второго сорта;

б) хотя бы одно изделие второго сорта.

Решение:

а) - обозначим этот исход через событие А. Число исходов, благоприятствующих событию А, найдем, используя правило умножения

Число всевозможных исходов равно

Тогда вероятность того, что из пяти изделий, взятых для проверки, два окажутся второго сорта, равна

б) Пусть теперь событие А состоит в том, что из пяти взятых изделий хотя бы одно второго сорта. Рассмотрим противоположное событие , состоящее в том, что все пять изделий будут первого сорта. Вероятность этого события равна

Тогда вероятность события А равна

.

4. Бросают три монеты. Определить вероятность выпадения надписей на каждой из монет.

Решение: Обозначим через событие А выпадение надписей на всех трех монетах. Этому событию благоприятствует только один исход из всех возможных. Число всех исходов в данном испытании найдем с помощью следствия из теоремы умножения в комбинаторике.

Каждую монету можно рассматривать как переменную величину, принимающую два значения, либо она выпадает надписью, либо гербом. Тогда число выборок значений трех монет равно 2³ = 8. Вероятность события А будет равна

Для решения задачи можно предложить непосредственный подсчет вариантов, используя следующие таблицы:

Для трех монет имеем

5) Брошены шесть различных костей. Какова вероятность выпадения трех пятерок, двух шестерок и одной четверки?

Решение:

6) В урне q белых и k черных шаров. Какова вероятность того, что l вынутых шаров окажутся одного цвета? (l<q, l<k)

Решение: Событие А – вынуто l шаров белого цвета; событие В – вынуто l шаров черного цвета. Тогда событие А+В означает выбор l шаров одного цвета.

.

7) В лотерее разыгрываются 100 билетов. Выигрыши падают на 10 билетов. Какое минимальное количество билетов надо купить, чтобы вероятность выигрыша хотя бы по одному билету оказалась большей, чем 0,5?

Решение: Пусть искомое число билетов равно m, а искомая вероятность - P_m. Введем обозначения: событие А – хотя бы один билет выиграл, - ни один билет не выиграл. Тогда

Легко проверить, что , следовательно . При m = 6 правая часть неравенства больше 0,5.