Уравнение Ферма-Пелля

Так называется диофантово уравнение x² – A×y² = 1, где A Î N. Его исследование было начато П. Ферма, а окончательное описание решений получено Л. Дирихле. Дж. Пелль не имеет к решению этого уравнения никакого отношения, его имя ошибочно связал с этим уравнением Л. Эйлер.

I. Рациональные решения.Вначале найдём все рациональные решения уравнения Ферма-Пелля.

Кривая g с уравнением Ферма x² – A×y² = 1 имеет канонический вид и, как известно, является гиперболой с вершинами (±1; 0) и асимптотами y = ± ×x .

Выберем на ней рациональную точку – её вершину S(1; 0), с помощью которой проведём параметризацию остальных рациональных точек этой кривой.

Если точка M(r ; s) Î g рациональна, т.е. r, s Î Q, то прямая (MS) имеет каноническое уравнение Û y = и угловой коэффициент k = Î Q .

Обратно, если заданугловой коэффициент k Î Q , то можно найти все точки пересечения прямой y = k×(x – 1), проходящей через точку S, с кривой x² – A×y² = 1 : одна из них S, а вторая находится из соотношений

x² – A×k²×(x – 1)² = 1 Û (x – 1)×(x + 1) = A×k²×(x – 1)² Û

Û (1 – A×k²)×x = –1 – A×k² Û .

Знаменатель последнего выражения не обращается в ноль, если число A не является квадратом рационального числа: 1 – A×k² = 0 Û A = . В случае натурального параметра A это возможно только если A полным квадратом. Действительно, если – несократимая дробь, то A = Û Û A×p² = q² и т.к. p и q взаимно просты, то A = m×q, m×p² = q, а значит, m = q×s, s×p² = 1 и s = 1, p = ±1, а A = q².

Теорема (о рациональных решениях уравнения Ферма-Пелля). Все рациональные точки кривой x² – A×y² = 1 (A Î N) имеют вид M(x ; y), где

· (k Î Q), если A не является полным квадратом;

· (k Î Q \ { }), если A = B² ;

II. Целочисленные решения.Теперь рассмотрим целочисленные решения уравнения Ферма. Прежде всего, заметим, что имеет смысл рассматривать только уравнения, в которых A не является полным квадратом: если A = B², то

x² – A×y² = 1 Û x² – B²×y² = 1 Û (x + B×y)×(x – B×y) = 1 Û

Û Û .

Такие решения назовём тривиальными.

1. Арифметика чисел x + ×y (x, y Î Z). Левая часть уравнения Ферма-Пелля разложима на множители: x² – A×y² = (x + ×y)×(x – ×y). Поэтому числа вида x + ×y, где x, y Î Z , играют важную роль в исследовании решений этого уравнения. Обозначим

K = {x + ×y Î R | x, y Î Z}.

В дальнейшем будем отождествлять решение (x; y) этого диофантова уравнения с числом x + ×y.

Для любого числа x + ×y определим норму N(x + ×y) = x² – A×y².

Следующие формулы показывают, что множество рассматриваемых чисел замкнуто относительно сложения, вычитания, умножения, оно содержит 0 и 1, –1:

(x + ×y) + (z + ×t) = (x + z) + ×(y + t),

(x + ×y) – (z + ×t) = (x – z) + ×(y – t),

(x + ×y)×(z + ×t) = (x×z + A×y×t) + ×(x×t + y×z),

0 = 0 + ×0, 1 = 1 + ×0, –1 = –1 + ×0.

Для двух чисел x + ×y, z + ×t Î K можно вычислить их частное

,

которое не обязательно принадлежит K. Однако это частное принадлежит K, если x×z – A×y×t M z² – A×t² и –x×t + y×z M z² – A×t². Эти условия выполняются, например, в случае N(z + ×t) = z² – A×t² = ±1.

Для числа a = x + ×y Î K определим = x – ×y Î K – сопряжённое число к a . Легко проверить следующие свойства сопряжённых чисел:

, ,

,

N(±1) = 1, N(0) = 0.

Кроме того, норма от произведения чисел равно произведению норм:

N(a×b) = (a×b)× = (a×b)×( ) = a× ×b× = N(a)×N(b).

Ясно, что решения уравнения Ферма-Пелля имеют единичную норму. Значит, множество решений замкнуто относительно умножения и деления.

2. Приближение действительных чисел рациональными. Напомним лемму, доказанную ранее с помощью принципа Дирихле.

Лемма (о приближении действительных чисел рациональными). Для любого действительного числа r > 0 и произвольного n Î N найдутся такие натуральные числа a, b Î N, где 1 £ b £ n, что |b×r – a| £ .

Будем использовать её для r = .

3. Существование решения уравнения Ферма-Пелля. Докажем, что при любом A Î N диофантово уравнение x² – A×y² = 1 имеет нетривиальное решение, в котором y ¹ 0.

Зафиксируем произвольное n Î N и, пользуясь доказанной леммой, найдём a_n Î Z и 1 £ b_n < n со свойством |a_n – ×b_n| < . Тогда

|a_n² – A×b_n²| = |a_n – ×b_n|×|a_n + ×b_n| < ×|(a_n – ×b_n) + 2× ×b_n| £

£ ×(|a_n – ×b_n| +2×|b_n|× ) < ×( + 2×n× ) = 2× + £ 2× + 1.

Поэтому натуральная величина |a_n² – A×b_n²| принимает лишь конечное число значений на парах (a_n ; b_n) при n Î N. Количество таких пар бесконечно, т.к. величина |a_n – ×b_n| < стремится к нулю при n ® ¥ и не может быть равной нулю, поскольку иррационален. По принципу Дирихле получаем, что некоторое значение c величины |a_n² – A×b_n²| принимается бесконечное число раз. Пусть M = {(a; b) Î Z² | |a² – A×b²| = с} – бесконечное множество. Если c = 1, то всё доказано: при a² – A×b² = – 1 квадрат (a + ×b)² = (a² + A×b²) + 2×a×b× будет решением, т.к. N(a²) = N(a)².

Поскольку множество M бесконечно, а множество остатков при делении на c конечно, то найдутся две такие различные пары (a₁ ; b₁), (a₂ ; b₂) Î M, что |a₁² – A×b₁²| = c = |a₂² – A×b₂²| и a₁ º a₂ , b₁ º b₂ (mod c). Для доказательства достаточно по принципу Дирихле раскладывать пары (a; b) Î M по кучам (r; s) – всем парам остатков от деления на c (0 £ £ c).

Поскольку знаки чисел x, y в решении x + y× можно менять произвольно, будем считать, что a_i > 0, b_i > 0 (i = 1, 2).

Теперь получаем

Поскольку a₂² – A×b₂² = c и a₁ º a₂ , b₁ º b₂ (mod c), то a₁×a₂ – A×b₁×b₂ º º a₁² – A×b₁² = c º 0, –a₁×b₂ + b₁×a₂ º –a₁×b₁ + b₁×a₁ = 0 (mod c).

Поэтому числа Î Z, причём

x² – A×y² = (x + y× )×(x – y× ) = = ±1.

При этом y ¹ 0: если y = 0, то x = ±1 = x + y× = , т.е. вопреки выбору получаем (a₁ ; b₁) = (a₂ ; b₂).

Найденное нетривиальное решение a = x + y× порождает бесконечную серию решений a ⁿ (n Î Z), которые все различны как степени числа, не равного по модулю единице.

Итак, доказана

Теорема (о существовании нетривиальных решений уравнения Фер­ма-Пелля). Уравнение Ферма-Пелля x² – A×y² = 1 имеет бесконечное количество нетривиальных решений.

4. Структура решений.Ясно, что если x + y× – решение, то числа (–x) + y× , x + (–y)× , (–x) + (–y)× тоже являются решениями. Поэтому с любым нетривиальным решением, у которого y ¹ 0, уравнение Ферма-Пелля имеет и положительное решение, у которого x > 0, y > 0. Положительное решение x₀ + y₀× с наименьшим значением x во множестве всех положительных решений назовём основным.

На самом деле 1 + < x₀ + y₀× £ x + y× для каждого положительного решения x + y× . Действительно, неравенство 1+ < x₀+y₀× очевидно. Второе неравенство следует из минимальности x₀ и соотношений x² – A×y² = 1 = x₀² – A×y₀² : 0 £ x² – x₀² = A×(y² – y₀²), т.е. y ³ y₀ , x ³ x₀ и потому x₀ + y₀× £ x + y× . Итак, величина основного решения минимальна.

Теорема (о структуре решений уравнения Ферма-Пелля). Любое решение уравнения Ферма-Пелля является с точностью до знака степенью (положительной или отрицательной) основного решения.

Доказательство. Во-первых, как уже отмечалось выше, множество решений замкнуто относительно умножения и деления. Поэтому, если x = x₀ + y₀× – основное решение, то все его степени тоже x ⁿ (n Î Z) будут тоже решениями.

Рассмотрим теперь степени x , x ² , … , x ⁿ , … основного решения. Ясно, что x > 1 и поэтому x ⁿ ® ¥ при n ® ¥ . Если a = x + y× – положительное решение (x, y > 0), не равное никакой степени x ⁿ (n Î N), то найдётся однозначно определённое n Î N со свойством x ^k < a < x ^k+1. Тогда получаем решение b = , причём 1 < b = < x , что невозможно.

Итак, каждое положительное решение является степенью основного. Пусть теперь a = x + y× – произвольное нетривиальное неположительное решение. Рассмотрим три возможных случая:

1. x > 0, y < 0. Тогда = x – y× – положительное решение, так что = x ⁿ и a = .

2. x < 0, y < 0. Тогда –a = (–x) + (–y)× – положительное решение, и поэтому –a = x ⁿ , a = –x ⁿ .

3. x < 0, y > 0. Тогда –a удовлетворяет случаю 1, так что –a = x ^–n и a = –x ^–n.

Теорема доказана.