Непрерывные и смешанные случайные величины

Многие случайные величины не являются дискретными, например: время безотказной работы прибора, погрешность измерения некоторой величины, расстояние от точки попадания до центра мишени, дальность обнаружения объекта радиолокатором. У всех этих СВ множество возможных значений, совпадает с некоторым промежутком числовой прямой.

Если функция распределения F(x) СВ X при любом x непрерывна и, кроме того, имеет производную везде, кроме, может быть, отдельных точек разрыва первого рода, то случайная величина называется непрерывной.

Если функция распределения F(x) на некоторых участках непрерывно возрастает, а в отдельных точках имеет разрывы I рода, то случайная величина называется смешанной. Функция F(x) для смешанной случайной величины, как и для дискретной, непрерывна слева.

Для непрерывной СВ X вероятность принятия этой величиной каждого отдельного значения равна нулю

P(X = x) = 0 (1.9)

и справедливо утверждение

P(a ≤ X < b) = P(a < X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b) = F(b) – F(a). (1.10)

Для смешанной случайной величины вероятность принятия этой величиной каждого отдельного значения, принадлежащего участку непрерывности F(x), также равна нулю, а вероятность принятия случайной величиной каждого из тех значений x₁, x₂, …, в которых функция F(x) совершает скачки, численно равна значениям соответствующих скачков.

Плотностью распределения вероятности (или плотностью распределения или дифференциальной функцией распределения) непрерывной СВ X называется такая неотрицательная кусочно-непрерывная функция f(x) (P_X(x)), что при любых x Î R выполняется равенство

(1.11)

Для любой непрерывной СВ существует плотность распределения. Отметим важные свойства плотности распределения:

1) (1.12)

2) (1.13)

в точках непрерывности .

Для непрерывной СВ X с плотностью распределения f(x)

(1.14)