Теорема о «жёстком» рычаге Жуковского

При определении мощности, расчете на ведущем валу и других задачах необходимо знать только уравновешенную силу, приложенную к начальному звену. В таких случаях применяется теорема Жуковского.

Теорема Жуковского основана на принципе возможных перемещений: сумма элементарных работ внешних сил на их возможных перемещениях равна нулю.

Теорема используется для определения уравновешивающей силы или уравновешивающего момента без предварительного определения реакций в кинематических парах механизма и является графической интерпретацией принципа возможных перемещений точек приложения сил. Для реального механизма эти возможные перемещения являются реальными.

Исходя из принципа сохранения энергии сумма работ всех внешних сил, приложенных к звеньям механизма, равна нулю. Это условие можно записать в виде:

, (3.7)

где P_i – все внешние силы, в том числе силы полезного и вредного сопротивления, силы инерции и веса, действующие на звенья механизма (силы реакции здесь не учитываются); dS_i – элементарные перемещения точек приложения этих сил; a_i – угол приложения внешних сил, или угол давления (угол между вектором силы и вектором скорости).

Разделим уравнение (3.7) на бесконечно малый интервал времени dt и получим (при условии, что dS/dt = ):

, (3.8)

то есть сумму мгновенных мощностей, равную нулю.

Для определения величины мгновенных мощностей можно выполнить решение следующей графической интерпретации. Дано звено ВС с известной скоростью точки D и приложенной к этой точке силой (рис. 3.12). Построим план скоростей, повёрнутый на 90⁰, где , . Вычислим момент силы относительно полюса Р_v плана скоростей:

.

С учётом этого уравнение (3.8) можно записать как .

Рис. 3.12. План звена с повёрнутым

на 90⁰ планом скоростей

Так как масштаб , то можно сформулировать теорему Жуковского:

, (3.9)

или алгебраическая сумма моментов всех внешних сил, перенесенных с механизма в соответствующие точки повёрнутого на 90⁰ плана скоростей, относительно полюса равна нулю.

Пример

Заданы внешние силы, действующие на звенья механизма Р₂ и Р₃. Найдём уравновешивающую силу Р_ур, для чего построим план механизма в масштабе длин (рис. 3.13) и повёрнутый на 90⁰ план скоростей (рис. 3.14).

Рис. 3.13. План механизма

Рис. 3.14. Повёрнутый на 90⁰ план скоростей

Приложим силы в соответствующие точки k и b₃ повёрнутого плана скоростей, обозначаем плечи сил. Составляем уравнение моментов сил относительно полюса плана скоростей:

.

Отсюда:

.

Если сила P_ур получается с отрицательным знаком, то её предварительно выбранное направление следует поменять на противоположное.