Ортогональные дополнения подпространств евклидова пространства

Квадратная матрица A порядка n над полем F называется симметричной, если A^t = A. Линейный оператор h: Fⁿ Fⁿназывается симметричным, если его матрица в стандартном базисе симметрична. Нашей целью является доказательство следующей важной теоремы:

Теорема (о спектре симметричного линейного оператора). Собственные числа симметричного оператора h: Rⁿ Rⁿвещественны, а его матрица диагонализируема (по диагонали стоят собственные числа).

Доказательство.Пусть A – матрица симметричного оператора h в стандартном базисе, l = m + i×n – её (возможно, комплексное) собственное значение (m, n R), а z – соответствующий ему собственный вектор с (возможно, комплексными) компонентами z_k = x_k + i×y_k (x_k , y_k Î R, 1 £ k £ n). Тогда z = x+ i×y, гдеx, y – вещественные векторы с компонентами x_k , y_k Î R, (1 £ k £ n). Задумайтесь: почему у матрицы A есть хотя бы одно собственное число и собственный вектор ?

Так как A×z = l×z , то A×(x+ i×y) = (m+ i×n)×(x+ i×y). Учитывая, что A вещественная матрица, и сравнивая действительные и мнимые части в полученном равенстве, приходим к двум условиям: A×x = m×x – n×y, A×y = m×y + n×x . При этом (A×y = m×y +n×x) Û ((A×y)^t = (m×y + n×x)^t) Û (y^t×A^t = (m×y^t + n×x^t)). Учитывая, что A^t = A,получаем систему . Умножая первое уравнение на y^t слева, а второе – на xсправа, и вычитая одно из другого, приходим к равенству

0 = –n×y^t×y – n×x^t×x = –n×(y₁² + … + y_n² + x₁² + … + x_n²).

Отсюда либо n = 0, либо y₁ = … = y_n = x₁ = … = x_n = 0. Последняя возможность исключается, т.к. собственный вектор z = x+ i×yненулевой, и, значит, n = 0. Итак, Î R .

Для доказательства диагонализируемости матрицы A проведем индукцию по n и докажем, что существует такая ортогональная матрица S, что матрица S ^–1×A×S = D диагональна с собственными числами матрицы A по диагонали (ортогональность матрицы S означает, что S ^–1 = S ^t – транспонированная матрица).При этом будем рассматривать пространство ⁿRкак евклидово со стандартным скалярным произведением (x, y) = x^t×y .

База индукции (n = 1) очевидна. Предположим, что любая симметричная матрица порядка n – 1 диагонализируема с собственными числами по диагонали, и докажем это для матрицы A порядка n. Пусть l – одно из её собственных чисел (которые, по доказанному выше, все вещественны), а x – соответствующий собственный вектор с вещественными (?!) компонентами и U = L(x) – одномерное подпространство в ⁿR , натянутое на векторx. По теореме об ортогональном дополненииподпространства имеем ⁿR = U Å U^{^}, где U^{^} = { y Î ⁿR | x^t×y = 0 }.

Заметим, что " y Î U^{^} A×y Î U^{^}. Действительно,x^t×A×y = (?!) = (A×x)^t×y = = (l×x)^t×y = l×x^t×y = 0. Таким образом, если f₁ , … , f_n–1 – ортонормированный базис пространства U^{^} , то A×f_i = .Это значит, что в базисе e = (x, f₁ , … , f_n–1) матрица [h]_eраспавшаяся:

[h]_e = T ^–1×A×T = ,

где B = (b_ij) Î M(n–1, F), T = ( , f₁ , … , f_n ), T ^–1 = T ^t . При этом полученная матрица снова симметрична:

(T ^–1×A×T)^t = (T ^t×A×T)^t = T ^t×A ^t×(T ^t)^t = T ^t×A×T = T ^–1×A×T.

В частности, симметрична матрица B, к которой применимо предположение индукции.

По предположению индукции, B = P ^–1×d×P, где P ^–1 = P ^t , d – диагональная матрица с собственными числами матрицы B по диагонали, так что

– диагональная матрица с собственными числами матрицы A по диагонали (?!). В итоге , где сопрягающая матрица T× ортогональна:

.

Теорема доказана.

Примеры: 1. Если h : R² ® R² , где h(x, y) = (x + y ; x + y), то в стандартном базисе [h]_e = A = . Для нахождения её диагональной формы найдём собственные числа и собственные векторы.

1. Решаем характеристическое уравнение:

|l×I₂ – A| = = (l – 1)² – 1 = (l – 2)×l = 0.

Таким образом, l₁ = 2, l₂ = 0.

2. Находим собственные векторы, решая системы (l_i×I₂ – A)×v = 0 (i = 1, 2).

а) l₁ = 2: Û Û v = , v₂ ¹ 0.

б) l₂ = 0: Û Û v = , v₂ ¹ 0.

3. Находим базис из собственных векторов и нормируем его: b₁ = , b₂ =

4. Составляем из базисных векторов сопрягающую матрицу:

T = , T ^–1 = T ^t = .

5. Находим диагональный вид матрицы:

T ^–1×A×T = .

2. Если h : R³ ® R³ , где

h(x, y, z) = (x + y ; x + y + z ; y + z),

то в стандартном базисе [h]_e = A = . Для нахождения её диагональной формы найдём собственные числа и собственные векторы.

1. Решаем характеристическое уравнение:

|l×I₃ – A| = = (l – 1)³ – 2×(l – 1) = (l – 1)×(l² – 2×l – 1) = 0.

Таким образом, l₁ = 1, l₂ = 1 + , l₃ = 1 – .

2. Находим собственные векторы, решая системы (l_i×I₂ – A)×v = 0 (1 £ i £ 3).

а) l₁ = 1: Û Û v = , v₃ ¹ 0.

б) l₂ = 1 + : Û Û v = , v₁ ¹ 0.

в) l₃ = 1 – : ,v = , v₁ ¹ 0.

3. Нормированный базис из собственных векторов:

4. Составляем из базисных векторов сопрягающую матрицу:

T = , T ^–1 = T ^t = .

5. Находим диагональный вид матрицы:

T ^–1×A×T = =

= .