Линейного оператора

Пусть V – векторное пространство над полем F, j : V® V– линейный оператор. Элемент l Î F называется собственным числом (или значением) линейного оператора j , если существует такой ненулевой вектор v Î V, что j(v) = l×v. При этом вектор v Î V \ {0} с вышеуказанным свойством называют собственным вектором линейного оператора j , соответствующим (или отвечающим) собственному значению l .

Нетрудно видеть, что любой собственный вектор v порождает одномерное j-инвариантное подпространство W = L(v): j(a×v) = a×j(v) = a×l×v Î W. С другой стороны, если W – одномерное j-инвариантное подпространство и v Î W \ {0}, то W = L(v) и j(v) = l×vдля некоторого l Î F, т.е. v – собственный вектор для j . Таким образом, изучение собственных векторов линейного оператора j эквивалентно изучению его одномерных инвариантных подпространств.

С понятиями собственного числа и собственного вектора линейного оператора тесно связаны аналогичные понятия для матриц. Пусть A – квадратная (n´n)-матрица над полем F. Элемент l Î F называется собственным числом (или значением) матрицы А, если существует такой вектор v Î ⁿF \ {0}, что A×v = l× v. При этом ненулевой вектор vс вышеуказанным свойством называют собственным вектором матрицы А, соответствующим (или отвечающим) собственному значению l .

Множество всех собственных чисел линейного оператора j : V ® V (или матрицы A Î M(n, F))называют спектром линейного оператора j (или матрицы A) и обозначают через Sp(j) (или Sp(A)). Задачу отыскания всех собственных чисел и соответствующих им собственных векторов линейного оператора j (или матрицы A) называют спектральной задачей.

Примеры: 1. Матрица Î M(3, R) имеет собственный вектор , отвечающий её собственному значению l = 2, в чём нетрудно убедиться, вычислив .

2. Если в некотором базисе e₁ , e₂ , e₃ линейный оператор j : V ® V имеет матрицу [j]_e предыдущего примера, то вектор 3×e₁ + 3×e₂ + 2×e₃ является его собственным вектором. В самом деле,

j(3×e₁ + 3×e₂ + 2×e₃) = 3×j(e₁) + 3×j(e₂) + 2×j(e₃) =

= 3×(–e₁+ 2×e₂) + 3×(e₁– 2×e₂) + 2×(3×e₁ + 3×e₂ + 2×e₃) =

= 6×e₁ + 6×e₂ + 4×e₃ = 2×(3×e₁ + 3×e₂ + 2×e₃).

Этот собственный вектор соответствует собственному числу l = 2 линейного оператора j и его координатный столбец был найден в примере 1. У линейного оператора j есть ещё и другой собственный вектор: j(–e₁+ 2×e₂) = = –j(e₁) + 2×j(e₂) = –(–e₁+ 2×e₂) + 2×(e₁– 2×e₂) = 3×e₁ – 6×e₂ = –3×(–e₁+ 2×e₂). Собственный вектор –e₁+ 2×e₂отвечает собственному значению l = 3. Как Вы думаете, будет ли оно являться собственным числом матрицы примера 1 ?

3. Матрица А = Î M(2, R) не имеет собственных чисел, а значит и собственных векторов. Действительно, если l Î R – собственное число матрицы А, то А×v = l×v, т.е. (A – l×I₂)×v = 0. Таким образом, однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение. Значит det = 0, т.е. l² + 1 = 0. Это уравнение не имеет решений в поле R . Полученное противоречие показывает, что предположение о существовании собственного числа матрицы было не верным.

4. Следует отметить, что матрица предыдущего примера, рассматриваемая над полем комплексных чисел имеет два собственных числа i и –i . Первому из них отвечает собственный вектор , т.к. . Какой собственный вектор будет соответствовать второму собственному числу ?

5. Пусть R_a : V₂(O, R) ® V₂(O, R) – линейный оператор поворота на угол a против часовой стрелки. Решим спектральную задачу для оператора R_a . Если R_a(v) = l×v, то векторы R_a(v) и v коллинеарны, что возможно лишь при a = p×k (k Î Z) (?!).

С другой стороны, если a = 2×p×k (k Î Z),то R_a(v) = v для любого вектора v Î V₂(O, R). Таким образом, при a = 2×p×k (k Î Z), любой ненулевой вектор является собственным для оператора R_a и отвечает собственному значению l = 1. Если же a = p×(2×k+1) (k Î Z), то R_a(v) = –v при любом векторе v Î V₂(O, R). Таким образом, при a = p×(2×k+1) (k Î Z), любой ненулевой вектор является собственным для оператора R_a и отвечает собственному значению l = –1.

Итак, спектральная задача для оператора R_a имеет следующее решение: при a ¹ p×k (k Î Z) у этого линейного оператора нет ни собственных чисел, ни собственных векторов; при a = 2×p×k (k Î Z) у него единственное собственное число l = 1, которому отвечает множество собственных векторов, состоящее из всех ненулевых векторов плоскости; при a = p×(2×k+1) (k Î Z) у него единственное собственное число l = –1, которому отвечает множество собственных векторов, состоящее из всех ненулевых векторов плоскости.

Теорема (о связи спектральных задач для линейного оператора и его матрицы). Пусть j – линейный оператор в конечномерном векторном пространстве V с базисом e = (e₁ , … , e_n). Тогда

(1) " l Î F l Î Sp(j) « l Î Sp([j]_e),

(2) вектор v Î V \ {0} является собственным вектором линейного оператора j , отвечающим собственному значению l Î Sp(j) тогда и только тогда, когда вектор [v]_e Î ⁿF является собственным вектором матрицы оператора [j]_e , отвечающим собственному числу l Î Sp([j]_e).

Доказательство. Оба утверждения будем доказывать одновременно. Пусть v Î V \ {0} – собственный вектор линейного оператора j, отвечающий собственному числу l Î Sp(j). Это равносильно условию j(v) = l×v, которое, в свою очередь, эквивалентно координатной форме записи [j]_e×[v]_e = = [j(v)]_e = l×[v]_e . При этом [v]_e ¹ 0 Î ⁿF, т.к. v = e×[v]_e ¹ 0 Î V.Таким образом, [v]_e является собственным вектором матрицы [j]_e , соответствующим собственному значению l Î Sp([j]_e).

Теорема доказана.

Теорема (о решении спектральной задачи для матрицы). Для любой матрицы A Î M(n, F) справедливы следующие утверждения:

(1) " l Î F l Î Sp(A) « det(A – l×I_n) = 0,

(2) если l Î Sp(A), то однородная система линейных уравнений (A – l×I_n)×v = 0 Î ⁿF имеет ненулевые решения, множество которых совпадает с множеством собственных векторов, соответствующих собственному значению l .

Доказательство. Оба утверждения будем доказывать одновременно. Если l Î Sp(A) и v Î ⁿF \ {0} – отвечающий l собственный вектор, то A×v = l×v Û Û A×v – l×I_n×v = 0 Û (A – l×I_n)×v = 0. Последняя однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель её основной матрицы нулевой: det(A – l×I_n) = 0.

Обратно, если l Î F и det(A – l×I_n) = 0, то однородная система линейных уравнений (A – l×I_n)×v = 0 имеет ненулевое решение v Î ⁿF \ {0}, которое удовлетворяет соотношению A×v = l×v, т.е. является собственным вектором, соответствующим собственному числу l .

Теорема доказана.

Уравнение det(A – l×I_n) = 0, решениями которого являются собственные числа матрицы A (и только они), называется характеристическим уравнением матрицы А. Многочлен c_А(l) = det(A – l×I_n) называют характеристическим многочленом матрицы А.

Доказанная теорема даёт алгоритм решения спектральной задачи для матрицы А:

I. Составление характеристического уравнения det(A – l×I_n) = 0.

II. Нахождение собственных чисел матрицы А – корней её характеристического уравнения.

III. Для каждого собственного числа l_i нахождение собственных векторов, отвечающих этому числу, – как множества всех ненулевых решений однородной системы линейных уравнений (A – l×I_n)×v = 0.

Для линейного оператора спектральная задача решается путём предварительного сведения её к спектральной задаче для матрицы этого оператора в подходящем образом выбранном базисе и заключительного нахождения собственных векторов по найденным их координатным столбцам.

Примеры: 1. Решим спектральную задачу для линейного оператора, заданного в пространстве R³ правилом j(x; y; z) = (x + z; 2×y; –x – z).

0. Выберем стандартный базис

e = (e₁ = (1; 0; 0), e₂ = (0; 1; 0), e₃ = (0; 0; 1))

пространства R³ и найдём матрицу A = [j]_e оператора в этом базисе.

Имеем j(e₁) = j(1; 0; 0) = (1; 0; –1) = e₁ – e₃, j(e₂) = j(0; 1; 0) = = (0; 2; 0) = 2e₂ , j(e₃) = j(0; 0; 1) = (1; 0; –1) = e₁ – e₃ . Поэтому можно составить матрицу А = [j]_e = .

Решаем спектральную задачу для матрицы А.

I. Составляем характеристическое уравнение det(A – l×I_n) = 0.

det(A – l×I_n) = = (1 – l)×(2 – l)×(–1 – l) + (2 – l) =

= (2 – l)×((1 – l)×(–1 – l) + 1) = (2 – l)×l² = 0.

Таким образом, характеристическое уравнение для матрицы А имеет вид (2 – l)×l² = 0.

II. Находим собственные числа матрицы А, решая характеристическое уравнение:

l₁ = 2, l_2,3 = 0. Таким образом, Sp(j) = Sp(A) = {2, 0}.

III. Находим собственные векторы матрицы А.

а) для l₁ = 2:

составляем однородную систему линейных уравнений и находим её общее решение методом Гаусса:

.

Таким образом, общее решение имеет вид , а векторы (v₂ ¹ 0) являются собственными векторами матрицы А, соответствующими собственному числу l₁ = 2.

б) для l_{2, 3} = 0:

составляем однородную систему линейных уравнений и находим её общее решение (?!). Таким образом, векторы , где v₃ ¹ 0, являются собственными векторами матрицы А, соответствующими собственному числу l_{2 , 3} = 0.

IV. Находим собственные векторы исходного линейного оператора по формуле v = e×[v]_e.

a) для l₁ = 2: v = (e₁ , e₂ , e₃)× = v₂×e₂ = v₂×(0; 1; 0) = (0; v₂ ; 0) , где v₂ Î R \ {0}.

б) для l_2,3 = 0:

v = (e₁ , e₂ , e₃)× = –v₃×e₁ + v₃×e₃ = –v₃×(1; 0; 0) + v₃×(0; 0; 1) = (–v₃ ; 0; v₃ ),где v₃ Î R \ {0}.

Итак, линейный оператор j имеет собственные числа l₁ = 2 и l_2,3 = 0. Первому из них отвечают собственные векторы (0; v₂ ; 0) , где v₂ Î R \ {0}, а двум другим – векторы (–v₃ ; 0; v₃ ),где v₃ Î R \ {0}.