Подобные матрицы и их спектральные задачи

Две квадратные (n´n) матрицы A, B Î M(n, F) называются подобными или сопряжёнными, если существует обратимая матрица T Î GL(n, F), называемая сопрягающей матрицей для A и B, со свойством T ^–1×A×T = B.

Примеры: 1. Матрицы A = , B = Î M(2, F) сопряжены с помощью сопрягающей матрицы T = :

T ^–1×A×T = = B.

2. Матрицы A = и B = Î M(2, F) не подобны.

Действительно, если бы существовала сопрягающая матрица T Î GL(2, F), то B = T ^–1×A×T и 1 = |B| = |T ^–1|×|A|×|T| = |T |^–1×|A|×|T| = |A| = 0 – противоречие.

3. Матрицы A = и B = Î M(2, R) не сопряжены при любом a ¹ 1 и сопряжены при a = 1.

Действительно, если существует невырожденная сопрягающая матрица T = Î GL(2, R), то B = T ^–1×A×T , т.е. T×B = A×T или

.

Таким образом, получается система линейных уравнений , откуда t₂₁ = 0, (a – 1)×t₂₂ = 0, 2×t₁₁ = t₂₂ –(a – 1)×t₁₂ . Если a = 1, то сопрягающей матрицей будет T = при t₁₁ ¹ 0.

Если же a ¹ 1, то t₂₁ = 0 = t₂₂ и матрица T вырождена, что невозможно.

Теорема (о спектральных задачах подобных матриц). Пусть матрицы A, BÎ M(n, F) подобны, т.е. B = T ^–1×A×T для некоторой обратимой матрицы T Î GL(n, F). Тогда

(1) Sp(A) = Sp(B),

(2) вектор v Î ⁿ F \ {0} является собственным вектором матрицы А, отвечающим собственному значению l Î Sp(A), тогда и только тогда, когда вектор T ^–1×v Î ⁿ F \ {0} является собственным вектором матрицы B, отвечающим собственному значению l Î Sp(B).

Доказательство следует из цепочки A×v = l×v Û T×B×T ^–1×v = l×v Û Û (B×T ^–1)×v = l×(T ^–1×v) с учётом того, что v ¹ 0 Û T ^–1×v ¹ 0 .

Теорема доказана.

§ 9^*. Post Scriptum : о подобии матриц

Укажем некоторые важные случаи, когда матрицу можно путём сопряжения с помощью невырожденной матрицы привести к более простому виду.

I. Диагонализируемые матрицы. Матрица A Î M(n, F) называется диагонализируемой, если она подобна некоторой диагональной матрице. Другими словами, – если существует обратимая матрица T Î GL(n, F) со свойством T ^–1×A×T = – диагональная матрица. Если существует базис векторного пространства V, в котором матрица [j]_eимеет диагональный вид, то линейный оператор j : V ® V называется диагонализируемым.

Теорема (о диагонализируемости). (1) Матрица A Î M(n, F) диагонализируема тогда и только тогда, когда пространство ⁿ F имеет базис, состоящий из собственных векторов матрицы A .

(2) Линейный оператор j :V ® V диагонализируем тогда и только тогда, когда пространство V имеет базис, состоящий из собственных векторов оператора j .

Доказательство. (1) Если T ^–1×A×T = – диагональная матрица, то d_i очевидно будет собственным числом диагональной матрицы, а e_i^t – её собственным вектором, отвечающим d_i (1 £ i £ n). Тогда T×(e₁^t , … , e_n^t) – базис пространства ⁿ F, состоящий из собственных векторов матрицы A (см. теорему о спектральных задачах подобных матриц).

Обратно, пусть v = (v₁ , … , v_n) – базис пространства ⁿ F, состоящий из собственных векторов матрицы A, а j : ⁿ F ® ⁿ F – линейный оператор, заданный правилом " xÎⁿ F j(x) = A×x. Тогда для стандартного базиса e = (e₁^t , … , e_n^t) имеем [j]_e = A и [j]_v = T_e,v^–1×A×T_e,v, где T_e,v – матрица перехода от базиса e к базису v. Кроме того, j(v_i) = A×v_i = l_i×v_iдля соответствующего собственного значения l_i Î F, так что [j(v_i)]_v = l_i×e_i (1 £ i £ n) и T_e,v^–1×А×T_e,v = [j]_v = – диагональная матрица.

(2) следует из определения диагонализируемости линейного оператора и связи спектральных задач линейного оператора и его матрицы.

Теорема доказана.

Примеры: 1. Матрица A = Î M(2, R) не диагонализируема, т.к. не имеет в R собственных чисел.

2. Матрица A = Î M(2, С) диагонализируема, т.к. Sp(A) = {i, –i} и C ² имеет базис ( ), состоящий из соответствующих собственных векторов.

3. Матрица A = Î M(2, F) не диагонализируема над любым полем F : у ней единственное собственное число l = 1, а отвечающие ему собственные векторы имеют вид , a Î F \ {0} и не образуют базиса в ² F.

4. Матрица A = Î M(2, R) диагонализируема над R: Sp(A) = {1, 2} и ( ) – соответствующий базис из собственных векторов.

Теорема (достаточное условие диагонализируемости). Линейный оператор в n-мерном векторном пространстве с n различными собственными значениями диагонализируем.

Доказательство. Пусть l₁ , … , l_n – различные собственные числа линейного оператора j : V ® V в n-мерном векторном пространстве. По каждому из них найдём собственные векторы v₁ , … , v_n Î V \ {0} и докажем их линейную независимость.

Если a₁×v₁ + … + a_n×v_n = 0 – нетривиальная линейная комбинация, то, подействовав оператором j, получим

0 = j(a₁×v₁ + … + a_n×v_n) = a₁×j(v₁) + … + a_n×j(v_n) = a₁×l₁×v₁ + … + a_n×l_n×v_n ,

т.е. a₁×l₁×v₁ + … + a_n×l_n×v_n = 0. Вычитая из этого равенства исходное соотношение линейной зависимости, умноженное на l₁ , получим новое соотношение a₂×(l₂ – l₁)×v₂ + … + a_n×(l_n – l₁)×v_n = 0. Оно не может быть тривиальным, т.к. в случае a₂ = … = a_n = 0 получаем a₁×v₁ = 0, т.е. v₁ = 0, что невозможно.

Продолжая процесс исключения векторов v₂ , … , v_n–1 , придём к невозможному нетривиальному соотношению b_n×v_n = 0. Полученное противоречие показывает, что векторы v₁ , … , v_n Î V линейно независимы, а их количество равно n = dim V. Значит, они образуют базис векторного пространства V.

Теорема доказана.

II. Нильпотентные матрицы. Матрица A Î M(n, F) называется нильпотентной, если A ^k = 0 _n´n для некоторого k Î N. Аналогично, линейный оператор j : V ® V в векторном пространстве Vназывается нильпотентным, если j ^k = 0 – нулевой оператор для некоторого k Î N. При этом число k называется индексом нильпотентности матрицы и линейного оператора соответственно.

Примеры: матрицы (0) Î M(1, F), Î M(2, F), Î M(3, F) нильпотентны с индексами нильпотентности 1, 2, 2, 3 соответственно, в чём нетрудно убедиться непосредственным вычислением степеней матриц.

Матрица A Î M(n, F) называется строго верхнетреугольной, если все её компоненты, стоящие как на главной диагонали, так и под ней нулевые. Аналогично определяется понятие строго нижнетреугольной матрицы.

Примеры: 1. среди матриц предыдущего примера строго верхнетреугольными будут первая и третья.

2.матрица строго нижнетреугольна, а матрица таковой не является.

Теорема (о нильпотентных матрицах и линейных операторах). Следующие условия для матрицы A Î M(n, F) (соответственно для линейного оператора j : V ® V) эквивалентны:

(1) матрица A (или линейный оператор j) нильпотентна (нильпотентен),

(2) Sp(A) = {0} (или Sp(j) = {0}),

(3) А подобна строго верхнетреугольной матрице (или матрица [j]_e строго верхнетреугольна в некотором базисе e векторного пространства V),

(4) А подобна строго нижнетреугольной матрице (или матрица [j]_e строго нижнетреугольна в некотором базисе e векторного пространства V).

Доказательство. Будем доказывать только утверждения для линейного оператора, т.к. матрица A Î M(n, F) нильпотентна тогда и только тогда, когда нильпотентен линейный оператор j : V ® V , заданный правилом " x Î ⁿ F j(x) = A×x .

(1) Þ (2) Если j = 0, то доказывать нечего. Будем считать, что j ^k = 0, но j ^k–1 ¹ 0. Тогда $ x Î V (v = j ^k–1(x) ¹ 0) Ù (j(v) = j ^k(x) = 0 = 0×v) , т.е. v – собственный вектор j, отвечающий собственному числу l = 0.

Если предположить вопреки доказываемому, что 0 ¹ l Î Sp(j), то рассматривая соответствующий собственный вектор w, получим

j(w) = l×w, j ²(w) = j(j(w)) = j(l×w) = l×j(w) = l ²×w,

j ³(w) = l ³×w, … , j ^k–1(w) = l ^k–1×w, 0 = j ^k(w) = l ^k×w ,

что противоречит предположению l ¹ 0 и условию w ¹ 0. Значит Sp(j) = {0}.

(2) Þ (3) Рассмотрим j-инвариантное подпространство U = Im(j) векторного пространства V. Если U = {0}, то " v Î V j(v) = 0 , т.е. j = 0 и в любом базисе e пространства V матрица [j]_eбудет нулевой, а значит, строго верхнетреугольной.

Значит можно считать U ¹ {0}. При этом U ¹ V, т.к. в противном случае j – эпиморфизм, и по теореме о сумме ранга и дефекта линейного оператора, выполнялось бы равенство

dim V = dim(Ker(j)) + dim U = dim(Ker(j)) + dim V,

из которого следует, что dim Ker(j) = 0, вопреки условию 0 Î Sp(j): j(v) = = 0×v = 0 для собственного вектора v Î V \ {0}.