Ортогональные базисы евклидовых пространств

Пусть V– конечномерное евклидово пространство, e = (e₁ , … , e_n) – конечная система векторов в V. Система e называется ортогональной, если (e_i , e_j) = 0 при i ¹ j. Если в дополнение к этому длины всех векторов системы e равны 1, то она называется ортонормированной.

Замечание. Если n = 1, то условие ортогональности не требует ничего, а для ортонормированности необходимо и достаточно, чтобы |e₁| = 1.

Примеры: 1. Пусть V = R³ – стандартное евклидово пространство. Тогда система векторов ((1; –1; 0), (1; 1; 0), (0; 0; 1)) является ортогональным, но не ортонормированным базисом, а система векторов

(( ; – ; 0), ( ; ; 0), (0; 0; 1))

является ортонормированным базисом пространства V.

2. Стандартный базис стандартного евклидова пространства ортонормирован.

Замечание. Если базис e = (e₁ , … , e_n ) векторного пространства V ортогонален, то система векторов f = {f_i = ×e_i | 1 £ i £ n } является ортонормированным базисом .

В самом деле, система f = (f₁ , … , f_n) эквивалентна системе e (т.к. каждый её вектор получен умножением соответствующего вектора системы e на ненулевой скаляр). Поэтому f – базис. Кроме того,

(f_i , f_j) = ( ×e_i , ×e_j ) = × ×(e_i , e_j ) = .

Таким образом, система f ортогональна и |f_i| = 1 (1 £ i £ n), что и требовалось.

Теорема (об ортонормированном базисе).Ненулевое конечномерное евклидово пространство обладает ортонормированным базисом.

Доказательство. Пусть V – ненулевое n-мерное евклидово пространство с базисом e = (e₁ , … , e_n). Проведем индукцию по числу n.

Если n = 1, то f = ( ) – искомый ортонормированный базис.

Предположим, что евклидово пространство с базисом (e₂ , … , e_n) и тем же скалярным произведением, что и V, обладает ортонормированным базисом (f₂ , … , f_n). Найдём ортонормированный базис для V. Для этого рассмотрим вектор g = e₁ – (e₁ , f₂)×f₂ – … – (e₁ , f_n)×f_n . Тогда

(g, f_i ) = (e₁ – , f_i ) = (e₁, f_i) – =

= (e₁ , f_i )–(e₁ , f_i ) = 0,

т.к. (f_k , f_i ) = d_ki – символ Кронекера (величина, равная 0 при k ¹ i и 1 – при k = i). Итак, система векторов (g , f₂ , … , f_n) ортогональна и эквивалентна системе (e₁ , f₂ , … , f_n) – базису пространства V(?!), т.е. является ортогональным базисом V. Осталось заменить gна f₁ = .

Теорема доказана.

Пример. Найти ортонормированный базис пространства, порожденного в R⁴ векторами e₁ = (0; 1; 0; –1), e₂ = (1; –1; 1; 0), e₃ = (1; 0; 0; 1) (скалярное произведение в R⁴ предполагается стандартным).

Последовательно строим ортонормированный базис, как при доказательстве теоремы. Полагаем f₃ = ×e₃ = ×(1, 0, 0, 1) и g = e₂ – (e₂ , f₃ )×f₃ = = (1; –1; 1; 0) – × ×(1; 0; 0; 1) = ( ; –1; 1; – ). Тогда (g , f₃ ) = 0, и можно положить f₂ = = ×g = ×( ; –1; 1; – ). Теперь (f₂ , f₃) – ортонормированная система векторов, эквивалентная (e₂ , e₃).

Точно так же, полагаем далее

g = e₁ – (e₁ , f₂ )×f₂ – (e₁ , f₃ )×f₃ =

= (0; 1; 0; –1) – ×( ; –1; 1; – ) – ×(1; 0; 0; 1) =

= (0; 1; 0; –1) + ×( ; –1; 1; – ) + (1; 0; 0; 1) = ( ; ; ; – ).

Система (g , f₂ , f₃ ) ортогональна и, значит, можно взять

f₁ = = ×(3; 4; 1; –3).

Ответ: ×(3; 4; 1; –3), ×( ; –1; 1; – ), ×(1; 0; 0; 1).

Описанный в теореме процесс построения ортогонального базиса, проиллюстрированный примером, называется процессом ортогонализации заданной системы векторов.

Упражнение. Проведите процесс ортогонализации векторов

(1; 2; 0; 0), (0; 2; 1; 0), (0; 0; 1; 2), (0; 0; 2; 1)

в стандартном евклидовом пространстве R⁴.