Функции специального вида

В математике важную роль играют функции, обладающие некоторыми специальными свойствами. Пусть f: A ® B – функция из А в B. Говорят, что f

Легко понять, что означают эти свойства на языке графов и графиков:

Свойство	Граф	График
отображение	из каждой вершины · а Î А графа выходит одна стрелка:	каждая вертикальная прямая x = a Î А пересекает график в одной точке
сюръективность	в каждую вершину · b Î B графа входит хотя бы одна стрелка:	каждая горизонтальная прямая y = b Î B пересекает график хотя бы в одной точке
инъективность	в каждую вершину · b Î B графа входит не более одной стрелки:	каждая горизонтальная прямая y = b Î B пересекает график ровно в одной точке
биективность	все три предыдущие свойства	все три предыдущие свойства

Примеры: 1. Пусть А ¹ Æ. Тогда функция id_A : A ® A, заданная правилом " a Î A id_A(a) = a,будет биективна.

Действительно, чтобы в этом убедиться, проще всего построить график – он представляет собой диагональ D = {(a; a) Î A´A} и удовлетворяет всем требованиям биективности функции.

2. Функция f: R ® R, заданная правилом f(x) = e^x, инъективна, но не сюръективна, а потому и не биективна, т.к. Im(f) = R₊ ¹ R.

3. В отличие от предыдущего примера, функция f: R ® R₊ , заданная правилом f(x) = e^x, инъективна, сюръективна и биективна.

4. Функция f: R ® R, заданная правилом f(x) = sin x, не является ни инъективной, ни сюръективной, ни биективной.

5. Функция f: R ® R, заданная правилом f(x) = ln x, является инъективной и сюръективной, но не биективной, т.к. D(f) = R₊ ¹ R, т.е. она – не является отображением.

Упражнение. Определите виды функций:

а) f : [0; 1] ® [0; 1], f(x) = e^x, б) f : R ® [0; 1], f(x) = e^x,

в)f : R ® R, f(x) = e^{tg x}, г)f : R ® R₊, f(x) = e^{tg x},

д) f : R ® R₊, f(x) = ln(1 – x), е) f : [–1; 1] ® R , f(x) = ln(1 – x).