Степень подвижности механизма

Обобщенной координатой механической системы (механизма) называется независимая координата, однозначно определяющая положение системы в пространстве.

Число обобщенных координат определяет число степеней свободы системы.

Рис. 1.6

Свободное твердое тело (звено) в пространстве обладает 6 степенями свободы, т.е. оно может совершать 3 независимых поступательных движения вдоль взаимно-перпендикулярных осей и 3 вращательных движения вокруг тех же осей.

Если же звено входит в кинематическую пару, то на относительное движение его, т.е. на движение по отношению ко второму звену, входящему в эту пару накладываются определенные ограничения. Эти ограничения называются условиями связи - S.

По числу условий связи, накладываемых на относительные движения звеньев, пары подразделяются на классы.

Класс кинематической пары соответствует числу условий связи, накладываемых на относительное движение звеньев, входящих в эту пару.

В зависимости от способа соединения звеньев в кинематическую пару число условий связи может меняться от 1 до 5.

Поэтому все кинематические пары можно разделить на 5 классов.

К I классу относятся пары, накладывающие на относительное движение звеньев одно условие (5-ти подвижные пары).

Ко II классу относятся пары, накладывающие два условия (4-х подвижные) и т.д.

Если на движение звена в пространстве, не наложено ни каких условий связи, то оно обладает 6 степенями свободы.

Тогда, если число звеньев кинетической цепи - К, то общее число степеней свободы, которым обладают К звеньев до их соединения в кинетическую цепь - 6 К

(степень свободы) до соединения в кинематическую цепь.

Соединение звеньев в кинематическую цепь накладывает различное число связей на относительное движение звеньев, зависящее от класса пар. Если число пар I класса обозначить P₁, II класса – P₂, III класса – P₃, IV класса – P₄, V класса – P₅,

то из 6к степеней свободы, которыми обладали звенья до их вхождения в кинематические пары, необходимо исключить те степени свободы, которые отнимаются вхождением звеньев в кинематические пары.

Тогда число степеней свободы Н, которым обладает кинематическая цепь будет равно:

(1.1)

Если одно из звеньев кинематической цепи будет неподвижным, то общее число степеней свободы цепи уменьшится на 6 и число степеней свободы W относительно неподвижного звена будет равно:

(1.2)

Число W степеней свободы кинематической цепи относительно стойки называется числом степеней неподвижности (степенью неподвижности) кинематической цепи.

Подставляя (1.1) во (1.2):

если обозначить ( ) через n то получим:

где n - число подвижных звеньев кинематической цепи.

Это равенство носит название формулы подвижности или формула Сомова-Малышева.

а) кинематическая цепь

б) схема кинематической цепи

Рис. 1. 7

Звенья 1 и 2 - входят в к.пару A ( V кл.)
2 и 3 - в пару В (V кл.)
3 и 4 - в пару С (IV кл.)
4 и 5 - в пару D (III кл.)

Подставим в формулу и получим

Степень свободы (подвижности) механизма показывает, сколько надо задать независимых координат, чтобы характеризовать положение любого звена механизма относительно стойки.

Если механизм обладает , то при заданном движении одного из звеньев (ведущего) все остальные звенья будут иметь вполне определенные движения.

Если , то определенность движения звеньев может быть обеспечена или двумя ведущими звеньями имеющим по одному независимому движению, или одним ведущим звеном, имеющим 2 независимых движения (двухподвижных).

Выделим формулу для определения числа степеней свободы плоского механизма, звенья которого совершают движения параллельно одной какой-либо плоскости.

В этом случаи из 6 движений, которое каждое отдельное звено может совершать в пространстве, исключаются 3 движения - одно поступательное и два вращательных.

Следовательно, звено в плоскости может совершать только 3 движения.

При этом условии в состав плоских кинематических цепей могут входить лишь кинематические пары 4 и 5-го классов, т.е. кинематическая пара 5 кл. лишает 2-х из 3-х оставшихся движений, а кинематическая пара 4 кл. - 1 простейшего движения.

Рис. 1.8

то степень подвижности плоского механизма:

- структурная формула плоского механизма или формула Чебышева.

В состав плоских механизмов пары 1,2 и 3 кл. входить не могут. Кинематические пары 5 к. входящие в состав плоского механизма могут быть в 2-х видах:- либо в виде вращательной пары либо в виде поступательной пары. (т.е. низшие).

Кинематические пары 4 кл. - являются высшими кинематическими парами имеющими 2 степени свободы.

Рис. 1.9