Оцінка адекватності імітаційних моделей

Визначення критеріїв адекватності істотно впливає на вибір оптимальних варіантів моделей. Оптимальна модель, маючи простоту й ефективністю реалізації, забезпечує необхідну адекватність моделювання. Для того щоб вибір моделі був досить обґрунтованим, необхідно мати можливість обчислення критерію адекватності.

Для розгляду питання скористаємося геометричними аналогіями, що дозволяють вивести розрахункові формули обчислення різних критеріїв.

Нехай у загальному виді вихідна формалізована модель, покладена в основу побудови імітаційної моделі,може бути подана за допомогою рівняння

f=(x, y, z … a, b, c …)=0, (36)

де x, y, z - змінні модельованої системи; a, b, c - параметри системи.

У процесі імітаційного моделювання виходить безліч М даних: , причому кожна підмножина змінних , , моделі і її параметрів , , складається з п числових величин для довільно обраних параметрів можна побудувати безліч , визначивши кожний елемент його шляхом підрахунку різниці за умови: , . У загальному випадку різниці - величини випадкові, що характеризуються відповідними законами розподілу, щільностями ймовірності й числових характеристик.

Маючи у своєму розпорядженні достатній набір елементів безлічі різниць, неважко одержати середньоквадратичні значення й знайти математичні очікування цих випадкових величин:

За характеристику точності , загального виду імітаційної моделі М при обраних параметрах можна взяти величину, пропорційну різниці між обсягом (рис. 8, а) -мірної фігури, що має як аналітичне відображення в області N змінних вихідна формалізована модель і обсягом подібної фігури, в аналітичному вираженні якої замість вихідних змінних узяті аргументи зі збільшеннями або , тобто

. (37)

Для найпростішого випадку формалізована модель подається у вигляді функції в однієї змінної х (рис. 8, б) і відповідного набору параметрів , а точність оцінюється відхиленнями (рис. 8, а).

Використання тільки характеристики точності імітаційних моделей як критерій вибору оптимального варіанта часто недостатньо. Дуже важливо знати про те, наскільки збігаються в принципі результати аналітичних розрахунків за математичною моделлю й результати імітаційного моделювання, тобто визначити збіжність імітаційної моделі.

Як і при обчисленні точності моделі, розроблювачі мають у своєму розпорядженні безліч даних у значеннях змінних і параметрів, одержуваних у результаті імітації.

Апроксимуючи ці дані найбільш відповідними теоретичними співвідношеннями, можна побудувати набір формалізованих моделей збіжність, моделі при цьому буде характеризувати повторення або не повторення вихідної закономірності.

Наочна ілюстрація цього подана на рис. 8, м для тієї ж вихідної моделі, що й на рис. 8, б.

в

д

г

е

б

а

а — тривимірне завдання для М(1, 2, .... а, Ь, с) =0; б — одномірний аналог при r=r_м; в — вибір формалізованої моделі; м — незбіжність моделей;

д — оцінка адекватності окремого результату;

е — оцінка адекватності моделі по ряду експериментальних результатів

Рисунок 8 – Постановка типового завдання моделювання

Типове завдання моделювання. Однією з найважливіших умов оцінки точності, збіжності й адекватності моделі є завдання або формулювання так званого типового завдання (рис. 9). Зміст її полягає в тім, що для будь-якої досліджуваної системи завжди можна зазначити безліч вхідних X і вихідних змінних , безліч параметрів внутрішніх і зовнішніх , стосовно яких формулюється завдання, тобто задається безліч вихідних даних і вказуються параметри й змінному, підлягаючому визначенню. При рішенні завдання використається також ряд співвідношень, що характеризують зв'язки між зазначеними параметрами й змінними. Покладається також, що завдання коректне й має рішення. Особливістю імітаційного моделювання є те, що, як правило, аналітичне рішення завдання або принципово неможливо, або дуже складно й зв'язано зі значними спрощеннями й більшими неточностями.

Розглядаючи адекватність різних імітаційних моделей, призначених для рішення досліджуваної системи, необхідно умовитися про те, що в процесі моделювання до моделі не вводять нових параметрів і змінних, які не втримувалися в умові типового завдання, навіть якщо така процедура має на меті більш об'єктивно відобразити процеси. Інакше кажучи, необхідно, щоб при моделюванні не мінялися умови завдання дослідження системи.

Рисунок 9 - До питань оцінки характеристики адекватності моделі

Точність і збіжність характеризують якість моделі в рамках вихідного математичного опису модельованої системи за умови, що воно є, або за умови формулювання типового завдання. При цьому точно не можна сказати, наскільки результати процесу імітації будуть збігатися із практичними значеннями спостережуваних змінних і параметрів.

Для відповіді на дані питання, як відомо, використають таку характеристику моделі, як вірогідність або адекватність.

Якщо про конкретно досліджувану систему не має точних експериментальних даних, то адекватність визначити практично неможливо й, отже, вибір варіанта моделі має бути виконаний за характеристиками точності й збіжності. Мінімальною інформацією про систему будуть експериментальні дані, що визначають деяку точку в просторі відображення модельованої системи. У цьому випадку адекватність моделей можна оцінити відстанню rданої точки від поверхні фігури (для багатомірної моделі) або від лінії, що задається вихідною математичною моделлю (див. рис. 8, д)для одномірного випадку. Аналогічно можна підійти до оцінки адекватності моделі, коли є невелике число (3...5…5) експериментальних крапок (див. рис. 8, е). Це пов'язане з тим, що при невеликому числі експериментальних даних ще слабко виражається та або інша закономірність процесів, що відбуваються в досліджуваній системі.

При зростанні числа точок, що відповідають даним натурного експерименту із системою, закономірність починає проявлятися більшою мірою й може бути виражена відповідним аналітичним вираженням. Тоді при оцінці адекватності необхідно врахувати збіжність імітаційної моделі до цього аналітичного вираження, тобто розглядати адекватність як комплексне значення, що складається з характеристики точності й збіжності.

Розглядаючи завдання вибору оптимального варіанта імітаційної моделі, необхідно знати також і таку характеристику, як ефективність, що визначається, з одного боку, результатами імітації, з іншого боку - складністю цього процесу, і залежить у свою чергу від використовуваних алгоритмів, складу програмних засобів і витрат на їхню реалізацію.