Минимизация числа опытов

Начнем с самого простого — полного факторного эксперимента . Напишем еще раз эту хорошо нам известную матрицу (таблица 1.11).

Таблица 1.11 – Полный факторный эксперимент

Пользуясь таким планированием, можно вычислить четыре коэффициента и представить результаты эксперимента в виде неполного квадратного уравнения

.

Если имеются основания считать, что в выбранных интервалах варьирования процесс может быть описан линейной моделью, то достаточно определить три коэффициента; bо, b1 и b2. Остается одна степень свободы. Употребим ее для минимизации числа опытов. При линейном приближении и вектор-столбец х1х2 можно использовать для нового фактора х3. Поставим этот фактор в скобках над взаимодействием х1х2 и посмотрим, каковы будут оценки коэффициентов. Здесь уже не будет тех раздельных оценок, которые мы имели в полном факторном эксперименте . Оценки смешаются следующим образом:

; ; .

Но нас это не должно огорчать. Ведь мы постулируем линейную модель, и, следовательно, все парные взаимодействия незначимы. Главное, мы нашли средство минимизировать число опытов: вместо восьми опытов для изучения трех факторов оказывается можно поставить четыре. При этом матрица планирования не теряет своих оптимальных свойств (ортогональность, ротатабельность и т. п.), в чем вы можете самостоятельно убедиться. Найденное правило можно сформулировать так: чтобы сократить число опытов, нужно новому фактору присвоить вектор-столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь. Тогда значение нового фактора в условиях опытов определяется знаками этого столбца.

Какая из трех матриц (рисунок 1.19), предложенных взамен полного факторного эксперимента , требующего восьми опытов, больше всего подходит к качестве матрицы планирования для дробного факторного эксперимента?

Рисунок 1.19 – Выбор матрицы планирования для дробного факторного эксперимента

Проверим свойства матрицы № 1. Каждый вектор-столбец матрицы, кроме первого, содержит равное число +1 и —1. Это означает, что выполняется условие: . Теперь перемножим каждую пару векторов-столбцов и посмотрим, будет ли сумма произведений равна 0. К сожалению, , т. е. совершена какая-то ошибка в выборе матрицы. Постараемся ее найти. Векторы-столбцы для х1 и х2 не вызывают сомнения. Ведь эта часть матрицы — полный факторный эксперимент . А как построен вектор-столбец для х3? Элементы этого столбца имеют обратные знаки элементам соседнего столбца х2. Два этих столбца оказались взаимосвязанными: х3 = —х2. При этом и . В таком планировании не могут быть раздельно оценены основные эффекты. Значит, мы потеряли информацию о двух линейных коэффициентах нашей модели. Таким планированием воспользоваться невозможно.

Матрица № 2 содержит всего три опыта. Три опыта недостаточны для оценки четырех коэффициентов: bо, b1, b2 и b3. Кроме того, ни одно из свойств, присущих полному факторному эксперименту, здесь не выполняется, за исключением нормировки.

Матрица № 3 сохраняет все свойства полного факторного эксперимента. Она дает возможность оценить свободный член bо и три коэффициента при линейных членах, потому что для х3 использован вектор-столбец х1х2 полного факторного эксперимента .

Если мы в дополнение к столбцам матрицы № 3 вычислим еще столбцы для произведений х1х3 и х2х3, то увидим, что элементы столбца х1х3 совпадут с элементами столбца x2, а элементы столбца х2х3 — с элементами столбца x1. Найденные нами коэффициенты будут оценками для совместных эффектов

; ; .

Такое планирование нас вполне устраивает. Мы смешали эффекты взаимодействия с основными эффектами. (Но все основные эффекты оцениваются раздельно друг от друга.) Так как постулируется линейная модель, то предполагается, что эффекты взаимодействия близки к нулю, и поэтому .

Мы рассмотрели самый простой случай: матрицу из четырех опытов для трехфакторного планирования. С увеличением числа факторов вопрос о минимизации числа опытов превращается в довольно сложную задачу. Рассмотрим ее детально. При этом нам не обойтись без новых определений и понятий.

Дробная реплика

Поставив четыре опыта для оценки влияния трех факторов, мы воспользовались половиной полного факторного эксперимента , или «полурепликой». Если бы мы х3 приравняли к —х1х2, то получили бы вторую половину матрицы . В этом случае:

; ; .

При реализации обеих полуреплик можно получить раздельные оценки для линейных эффектов и эффектов взаимодействия, как и в полном факторном эксперименте .

Объединение этих двух полуреплик и есть полный факторный4 эксперимент .

Матрица из восьми опытов для четырехфакторного планирования будет полурепликой от полного факторного эксперимента , а для пятифакторного планирования — четверть-репликой от . В последнем случае два линейных эффекта приравниваются к эффектам взаимодействия. Для обозначения дробных реплик, в которых p линейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия, удобно пользоваться условным обозначением . Так, полуреплика от запишется в виде , а четверть-реплика от — в виде .

Условные обозначения дробных реплик приведены в таблице 1.12.

Таблица 1.12 – Условия обозначения дробных реплик и число опытов

Число факторов	Дробная реплика	Условное обозначение	Число опытов
Для ДФЭ	Для ПФЭ
	1/2-реплика от
	1/2-реплика от
	1/4-реплика от

Продолжение таблицы 1.12

	1/8-реплика от
	1/16-реплика от
	1/2-реплика от
	1/4-реплика от
	1/8-реплика от
	1/16-реплика от
	1/32-реплика от
	1/64-реплика от
	1/128-реплика от
	1/256-реплика от
	1/512-реплика от
	1/1024-реплика от
	1/2028-реплика от