Полный факторный эксперимент

Отыскание комбинаций уровней внешних и внутренних факторов, при которых может быть получена наиболее полная и достоверная информация о поведении системы составляет ядро данного вида планирования. Для этого должны быть решены две основные задачи:

идентификация факторов;

выбор уровней факторов.

Из опыта известно, что для большинства систем 20% факторов определяют 80% свойств системы, а остальные 80% факторов определяют лишь 20% свойств системы [1].

Поэтому при идентификации факторов производится их ранжирование по степени влияния на значение наблюдаемой переменной (показателя эффективности).

По итогам идентификации все факторы делят на две группы – первичные и вторичные. Первичные – это те факторы, в исследовании влияния которых экспериментатор заинтересован непосредственно. Вторичные факторы не являются предметом исследования, но влиянием их нельзя пренебречь.

Выбор уровней факторов главным образом связан с определением интервалов между уровнями каждого из факторов [7]. Критерием выбора величины интервалов выступает и относительная точность данных на различных участках области исследуемых значений, и характер экспериментальной функции. Кроме того, при определении числа уровней факторов учитывают возможный диапазон изменения факторов и объем моделирования, который не должен быть чрезмерным.

Эксперимент, в котором реализуются все возможные комбинации уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ).

Общее число N различных комбинаций уровней в ПФЭ для k факторов можно вычислить как:

,

где – число уровней i-го фактора.

Если число уровней для всех факторов одинаково, то (L – число уровней).

Недостаток ПФЭ – большие временные затраты на подготовку и проведение эксперимента. Например, если в модели отражены 3 фактора, влияющие на значение выбранного показателя эффективности, каждый из которых имеет 4 возможных уровня (значения), то план проведения ПФЭ будет включать 64 эксперимента. Если при этом каждый из них длится хотя бы одну минуту (с учетом времени на изменение значений факторов), то на однократную реализацию ПФЭ потребуется более часа.

Поэтому использование ПФЭ целесообразно только в том случае, если в ходе имитационного эксперимента исследуется взаимное влияние всех факторов, фигурирующих в модели.

Исходя из предыдущих рассуждений, необходимо выбрать локальную область факторного пространства, ее местоположение и размеры. Это важный этап принятия неформализованных решений, предшествующих построению плана первой серии эксперимента.

Весь процесс исследования можно считать состоящим из последовательности этапов, часть из которых полностью формализована, а часть требует «интуитивных» решений. Причем, по мере развития теории формальные этапы будут играть все большую роль, но до конца не вытеснят неформализованные этапы.

1.2.1 Принятие решений перед планированием эксперимента

При выборе области эксперимента, прежде всего надо оценить границы областей определения факторов. При этом должны учитываться ограничения нескольких типов.

Первый тип — принципиальные ограничения для значений факторов, которые не могут быть нарушены ни при каких обстоятельствах. Например, если фактор — температура, то нижним пределом будет абсолютный нуль. ним (или нижним) уровнем.

Второй тип — ограничения, связанные с технико-экономическими соображениями, например, со стоимостью сырья, дефицитностью отдельных компонентов, временем ведения процесса.

Третий тип ограничений, с которым чаще всего приходится иметь дело, определяется конкретными условиями проведения процесса, Например, существующей аппаратурой, технологией, организацией. В реакторе, изготовленном из некоторого материала, температуру нельзя поднять выше температуры плавления этого материала или выше рабочей температуры данного катализатора. Оптимизация обычно начинается в условиях, когда объект уже подвергался некоторым исследованиям.

Информацию, содержащуюся в результатах предыдущих исследований, будем называть априорной (т. е. полученной до начала эксперимента). Мы можем использовать априорную информацию для получения представления о параметре оптимизации, о факторах, о наилучших условиях ведения процесса и характере поверхности отклика, т. е. о том, как сильно меняется параметр оптимизации при небольших изменениях значений факторов, а также о кривизне поверхности.

Для этого можно использовать графики (или таблицы) однофакторных экспериментов, осуществлявшихся в предыдущих исследованиях или описанных в литературе. Если однофакторную зависимость нельзя представить линейным уравнением (в рассматриваемой области), то в многомерном случае, несомненно, будет существенная кривизна. Обратное утверждение, к сожалению, не очевидно.

Итак, выбор экспериментальной области факторного пространства связан с тщательным анализом априорной информации. Вы видите, как непросто решается этот важный вопрос. Но это только начало. Теперь в области определения надо найти локальную подобласть для планирования эксперимента. Процедура выбора этой подобласти включает два этапа:

выбор основного уровня;

выбор интервалов варьирования.

Выбор основного уровня. Наилучшим условиям, определенным из анализа априорной информации, соответствует комбинация (или несколько комбинаций) уровней факторов. Каждая комбинация является многомерной точкой в факторном пространстве. Ее можно рассматривать как исходную точку для построения плана эксперимента. Назовем ее основным (нулевым) уровнем.

Построение плана эксперимента сводится к выбору экспериментальных точек, симметричных относительно нулевого уровня. В разных случаях мы располагаем различными сведениями об области наилучших условий. Если имеются сведения о координатах одной наилучшей точки, и нет информации о границах определения факторов, то остается рассматривать эту точку в качестве основного уровня.

Аналогичное решение принимается, если границы известны и наилучшие условия лежат внутри области. Положение, усложняется, если эта точка лежит на границе (или весьма близко к границе) области. Тогда приходится основной уровень выбирать с некоторым сдвигом от наилучших условий.

Может случиться, что координаты наилучшей точки неизвестны, но есть сведения о некоторой подобласти, в которой процесс идет достаточно хорошо. Тогда основной уровень выбирается либо в центре, либо в случайной точке этой подобласти. Сведения о подобласти можно получить, анализируя изученные ранее подобные процессы, из теоретических соображений или из предыдущего эксперимента.

Наконец, возможен случай с несколькими эквивалентными точками, координаты которых различны. Когда отсутствуют дополнительные данные (технологического, экономического характера и т. д.), выбор произволен. Конечно, если эксперимент недорог и требует немного времени, можно приступить к построению планов экспериментов вокруг нескольких точек.

После того как нулевой уровень выбран, переходят к следующему шагу — выбору интервалов варьирования.

Выбор интервалов варьирования. Теперь наша цель состоит в том, чтобы для каждого фактора выбрать два уровня, на которых он будет варьироваться в эксперименте.

Представьте себе координатную ось, на которой откладываются значения данного фактора, для определенности — температуры. Пусть основной уровень уже выбран и равен 100 °C, который изображают точкой. Тогда два интересующих нас уровня можно изобразить двумя точками, симметричными относительно первой. Будем называть один из этих уровней верхним, а второй — нижним. Обычно за верхний уровень принимается тот, который соответствует большему значению фактора, хотя это не обязательно, а для качественных факторов вообще безразлично. Интервалом варьирования факторов называется некоторое число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний, а вычитание — нижний уровни фактора. Другими словами, интервал варьирования — это расстояние на координатной оси между основным и верхним (или нижним) уровнем.

Рисунок 1.11 – Область определения двух факторов

Таким образом, задача выбора уровней сводится к более простой задаче выбора интервала варьирования (рисунок 1.11). Заметим еще, что для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных масштабы по осям выбираются так, чтобы верхний уровень соответствовал +1, нижний —1, а основной — нулю. Для факторов с непрерывной областью определения это всегда можно сделать с помощью преобразования

,

где — кодированное значение фактора,

— натуральное значение фактора,

— натуральное значение основного уровня, I — интервал варьирования, j — номер фактора.

Для качественных факторов, имеющих два уровня, один уровень обозначается +1, а другой — 1; порядок уровней не имеет значения. Пусть процесс определяется четырьмя факторами. Основной уровень и интервалы варьирования выбраны следующим образом (таблица 1.1).

Таблица 1.1

Факторы
Основной уровень			1,5
Интервал варьирования

Остановимся на первом факторе. Отметим на координатной оси три уровня: нижний, основной и верхний.

Таблица 1.2

Натуральные значения
Кодированные значения		-1	*		+1

Нужно найти кодированное значение для . Это значение лежит между 1,0 и 3,0, т. е. между - 1 и 0 в кодированном масштабе. Так как в натуральном масштабе 2,0 лежит посередине между 1,0 и 3,0, то ему соответствует - 0,5 в кодированном масштабе. (Для = 2,5 будет = - 0,25, для = 1,5 будет = - 0,75 и т. д.).

На выбор интервалов варьирования накладываются естественные ограничения сверху и снизу. Интервал варьирования не может быть меньше той ошибки, с которой экспериментатор фиксирует уровень фактора. Иначе верхний и нижний уровни окажутся неразличимыми. С другой стороны, интервал не может быть настолько большим, чтобы верхний или нижний уровни оказались за пределами области определения. Внутри этих ограничений обычно еще остается значительная неопределенность выбора, которая устраняется с помощью интуитивных решений.

Обратим внимание на то, что при решении задачи оптимизации стремятся выбрать для первой серии экспериментов такую подобласть, которая давала бы возможность для шагового движения к оптимуму. В задачах же интерполяции интервал варьирования охватывает всю описываемую область.

Выбор интервалов варьирования — задача трудная, так как она связана с неформализованным этапом планирования эксперимента. Возникает вопрос, какая априорная информация может быть полезна на данном этапе? Это — сведения о точности, с которой экспериментатор фиксирует значения факторов, о кривизне поверхности отклика и о диапазоне изменения параметра оптимизации. Обычно эта информация является ориентировочной (в некоторых случаях она может оказаться просто ошибочной), но это единственная разумная основа, на которой можно начинать планировать эксперимент. В ходе эксперимента ее часто приходится корректировать.

Точность фиксирования факторов определяется точностью приборов и стабильностью уровня в ходе опыта. Для упрощения схемы принятия решений мы введем приближенную классификацию, полагая, что есть низкая, средняя и высокая точности. Можно, например, считать, что поддержание температуры в реакторе с погрешностью не более 1 % соответствует высокой, ее более 5% — средней, а более 16% — низкой точности.

Источником сведений о кривизне поверхности отклика могут служить уже упоминавшиеся графики однофакторных зависимостей, а также теоретические соображения. Из графиков сведения о кривизне можно получить визуально. Некоторое представление о кривизне дает анализ табличных данных, так как наличию кривизны соответствует непропорциональное изменение параметра оптимизации при равномерном изменении фактора. Мы будем различать три случая: функция отклика линейна, функция отклика не является линейной и информация о кривизне отсутствует.

Наконец, полезно знать, в каких диапазонах меняются значения параметра оптимизации в разных точках факторного пространства. Если имеются результаты некоторого множества опытов, то всегда можно найти наибольшее или наименьшее значения параметра оптимизации. Разность между этими значениями будем называть диапазоном изменения параметра оптимизации для данного множества опытов.

Условимся различать широкий и узкий диапазоны. Диапазон будет узким, если он несущественно отличается от разброса значений параметра оптимизации в повторных опытах. (Этот разброс, как известно, определяет ошибку опыта.) В противном случае будем считать диапазон широким. Учтем также случай, когда информация отсутствует.

Итак, для принятия решений используется априорная информация о точности фиксирования факторов, кривизне поверхности отклика и диапазоне изменения параметра оптимизации. Каждое сочетание градаций перечисленных признаков определяет ситуацию, в которой нужно принимать решение. При принятых нами градациях возможно З3 = 27 различных ситуаций. Они представлены на рисунках 19—21 в виде кружочков, цифры в которых соответствуют порядковым номерам ситуаций.

Теперь мы приблизились к принятию решения о выборе интервалов варьирования. Для интервалов также введем градацию. Будем рассматривать широкий, средний и узкий интервалы варьирования, а также случай, когда трудно принять однозначное решение. Размер интервала варьирования составляет некоторую долю от области определения фактора.

Можно, например, условиться о следующем: если интервал составляет не более 10% от области определения, считать его узким, не более 30% — средним и в остальных случаях — широким. Это, конечно, весьма условно, и в каждой конкретной задаче приходится специально определять эти понятия, которые зависят не только от размера области определения, но и от характера поверхности отклика, и от точности фиксирования факторов.

Перейдем к рассмотрению схемы принятия решений. На первой схеме (рисунок 1.12) представлены восемь ситуаций, имеющих место при низкой точности фиксирования факторов.

Рисунок 1.12 – Принятие решений при низкой точности фиксирования факторов

При выборе решений учитываются информация о кривизне поверхности отклика и о диапазоне изменения параметра оптимизации. Типичное решение — широкий интервал варьирования. Узкий интервал варьирования совершенно не используется, что вполне понятно при низкой точности.

Низкая точность фиксирования факторов приводит к отказу от выбора узкого интервала варьирования, иначе результаты могут оказаться неразличимыми. Нам известно, что поверхность линейна. Это не налагает ограничений на расширение интервалов.

Кроме того, надо учитывать сведения о диапазоне изменения параметра оптимизации. Он узок, а мы стремимся получить в эксперименте различающиеся значения параметра оптимизации. Поэтому интервал следует увеличивать. Вернемся снова к схеме. Видно, что средний интервал варьирования в этой схеме выбирается дважды. Здесь отсутствует информация об обоих признаках, и выбор широкого интервала представляется более естественным.

Наибольшие трудности возникают, когда поверхность отклика нелинейная. Появляется противоречие между низкой точностью фиксирования факторов и кривизной. Первая требует расширения интервала, а вторая — сужения. Решение оказывается неоднозначным. Как поступить? Приходится рассматривать дополнительные рекомендации (см. схему).

Прежде всего, нужно выяснить, нельзя ли увеличить точность эксперимента либо за счет инженерных решений, либо за счет увеличения числа повторных опытов. Если это возможно, то решения принимаются на основе блок-схемы (рисунок 1.13) для средней точности фиксирования факторов.

Если это невозможно, то для принятия решения нет достаточных оснований, и оно становится интуитивным. Это схема, как и последующие схемы, служит весьма грубым приближением к действительности. На практике учитывается еще масса обстоятельств. Например, решения, принимаемые по каждому фактору в отдельности, корректируются при рассмотрении совокупности факторов.

Рисунок 1.13 – Принятие решений при средней точности фиксирования факторов

На рисунке 1.13 изображена схема для случая средней точности фиксирования факторов. Характерен выбор среднего интервала варьирования. Лишь в случае нелинейной поверхности и широкого диапазона рекомендуется узкий интервал варьирования. При сочетаниях линейной поверхности с узким диапазоном и отсутствием информации о диапазоне выбирается широкий интервал варьирования.

Наконец, на рисунке 1.14 построена схема для случая высокой точности фиксирования фактора. Сочетание высокой точности с нелинейностью поверхности всегда приводит к выбору узкого интервала. Довольно часто выбирается средний интервал и лишь в двух случаях широкий. В обеих последних схемах отсутствуют неоднозначные решения.

Рисунок 1.14 – Принятие решений при высокой точности фиксирования факторов

1.2.2 Полный факторный эксперимент типа

Первый этап планирования эксперимента для получения линейной модели основан, как мы оговорились, на варьировании факторов на двух уровнях. В этом случае, если число

факторов известно, можно сразу найти число опытов, необходимое для реализации всех возможных сочетаний уровней факторов. Простая формула, которая для этого используется, уже приводилась в гл. 1, и мы ее напомним: , где N — число опытов, k — число факторов, 2 — число уровней. В общем случае эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом. Если число уровней каждого фактора равно двум, то имеем полный факторный эксперимент типа (таблица 1.3).

Нетрудно написать все сочетания уровней в эксперименте с двумя факторами. Напомним, что в планировании эксперимента используются кодированные значения факторов: +1 и —1 (часто для простоты записи единицы опускают). Условия эксперимента можно записать в виде таблицы, где строки соответствуют различным опытам, а столбцы — значениям факторов. Будем называть такие таблицы матрицами планирования эксперимента.

Таблица 1.3 – Матрица планирования эксперимента

Матрица планирования для двух факторов приведена в таблице 1.3. Каждый столбец в матрице планирования называют вектор-столбцом, а каждую строку — вектор-строкой. Таким образом, в таблице 1.3 мы имеем два вектора-столбца независимых переменных и один вектор-столбец параметра оптимизаций. То, что записано в этой таблице в алгебраической форме, можно изобразить геометрически.

Рисунок 1.15 - Геометрическая интерпретация ПФЭ

Найдем в области определения факторов точку, соответствующую основному уровню, и проведем через нее новые оси координат, параллельные осям натуральных значений факторов. Далее, выберем масштабы по новым осям так, чтобы интервал варьирования для каждого фактора равнялся единице.

Тогда условия проведения опытов будут соответствовать вершинам квадрата, центром которого является основной уровень, а каждая сторона параллельна одной из осей координат и равна двум интервалам рисунок 2.5. Номера вершин квадрата соответствуют номерам опытов в матрице планирования. Площадь, ограниченная квадратом, называется областью эксперимента.

Иногда удобнее считать областью эксперимента площадь, ограниченную окружностью, описывающей квадрат. В задачах интерполяции область эксперимента есть область предсказываемых значений у. Запись матрицы планирования, особенно для многих факторов, громоздка. Для ее сокращения удобно ввести условные буквенные обозначения строк. Это делается следующим образом. Порядковый номер фактора ставится в соответствие строчной букве латинского алфавита: x1 — а, х2—b, ... и т. д.

Если теперь для строки матрицы планирования выписать латинские буквы только для факторов, находящихся на верхних уровнях, то условия опыта будут заданы однозначно. Опыт со всеми факторами на нижних уровнях условимся обозначать (1). Матрица планирования вместе с принятыми буквенными обозначениями приведена в таблице 1.4.

Таблица 1.4 – Матрица планирования эксперимента

Теперь вместо полной записи матрицы планирования можно пользоваться только буквенными обозначениями, Ниже приведена буквенная запись еще одного плана: с, b, a, abc, (1), bc, ac ab. Матрица планирования приведена в таблице 1.5.

Таблица 1.5 – Матрица планирования эксперимента

Таким образом, вы построили полный факторный эксперимент . Он имеет восемь опытов и включает все возможные комбинации уровней трех факторов. Если для двух факторов все возможные комбинации уровней легко найти прямым перебором (или просто запомнить), то с ростом числа факторов возникает необходимость в некотором приеме построения матриц.

Из многих возможных обычно используется три приема, основанных на переходе от матриц меньшей размерности к матрицам большей размерности.

Рассмотрим первый прием. При добавлении нового фактора каждая комбинация уровней исходного плана встречается дважды: в сочетании с нижним и верхним уровнями нового фактора. Отсюда естественно появляется прием: записать исходный план для одного уровня нового фактора, а затем повторить его для другого уровня. Вот как это выглядит при переходе от эксперимента к (таблица 1.6). Этот прием распространяется на построение матриц любой размерности.

Таблица 1.6 – Построение матрицы планирования эксперимента

Рассмотрим второй прием. Для этого введем правило перемножения столбцов матрицы. При построчном перемножении двух столбцов матрицы произведение единиц с одноименными знаками дает +1, а с разноименными —1. Воспользовавшись этим правилом, получим для случая, который мы рассматриваем, вектор-столбец произведения x1x2 в исходном плане. Далее повторим еще раз исходный план, а у столбца произведений знаки поменяем на обратные. Этот прием тоже можно перенести на построение матриц любой- размерности, однако он сложнее, чем первый.

Третий прием основан на правиле чередования знаков. В первом столбце знаки меняются поочередно, во втором столбце они чередуются через два, в третьем — через 4, в четвертом — через 8 и т. д. по степеням двойки. Если в таблице 2.5 поменять местами столбцы для x1 и x2, то получится нужная матрица.

Рисунок 1.16 - Геометрическая интерпретация ПФЭ

Геометрической интерпретацией полного факторного эксперимента служит куб, координаты вершин которого задают условия опытов. Если поместить центр куба в центр плана, а масштабы по осям выбрать так, чтобы интервал варьирования равнялся единице, то получится куб, изображенный на рисунке 1.16 Куб задает область эксперимента, а центр куба является ее центром. В случае многомерного факторного пространства, т.е. при k>3, фигуру, задающую область эксперимента обычно называю фигуру гиперкубом.

1.2.3 Свойства полного факторного эксперимента типа

На основе построения матрицы планирования полных факторных экспериментов с факторами на двух уровнях выясним, какими общими свойствами эти матрицы обладают независимо от числа факторов. Имеются в виду свойства матриц, которые определяют качество модели. Ведь эксперимент и планируется для того, чтобы получить модель, обладающую некоторыми оптимальными свойствами. Это значит, что оценки коэффициентов модели должны быть наилучшими и что точность предсказания параметра оптимизации не должна зависеть от направления в факторном пространстве, ибо заранее неясно, куда предстоит двигаться в поисках оптимума.

Два свойства следуют непосредственно из построения матрицы. Первое из них — симметричность относительно центра эксперимента — формулируется следующим, образом: алгебраическая сумма элементов вектор-столбца каждого фактора равна нулю, или:

,

где j — номер фактора, N — число опытов, i = 1, 2,.... k.

Второе свойство — так называемое условие нормировки — формулируется следующим образом: сумма квадратов элементов м каждого столбца равна числу опытов, или:

.

Это следствие того, что значения факторов в матрице задаются +1 и -1.

Мы рассмотрели свойства отдельных столбцов матрицы планирования. Теперь остановимся на свойстве совокупности столбцов. Сумма почленных произведений любых двух вектор-столбцов матрицы равна нулю, или:

, .

Это важное свойство называется ортогональностью матрицы планирования. Последнее, четвертое свойство называется ротатабельностью, т.е. точки в матрице планирования подбираются так, что точность предсказания значений параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления. Тех, кто интересуется доказательством этого утверждения, мы отсылаем к работе [3]. Даны две матрицы планирования (рисунок 1.17):

Рисунок 1.17 - Две матрицы планирования

Давайте проверим, как выполняются все три свойства для каждой из матриц. Первое свойство выполняется для всех столбцов обеих матриц. Действительно, для первого столбца матрицы а) имеем:

(- 1) + (+1) + (- 1) + (+ 1) = 0.

Аналогичный результат получается для всех других столбцов. Второе свойство также выполняется для обеих матриц. Например, для того же столбца имеем:

.

С третьим свойством, однако, дело обстоит иначе. Если для матрицы а) формула выполняется, то в случае матрицы б) это не так. Действительно

(-1) (+ 1) + (+ 1) (- 1) + (- 1) (+ 1) +(+ 1) (- 1)=-4.