Случай одинаковых (равных) рангов

При наличии одинаковых рангов формула расчета коэффициента линейной корреляции Спирмена будет несколько иной. В этом случае в формулу вычисления коэффициентов корреляции добавляются два новых члена, учитывающие одинаковые ранги. Они называются поправками на одинаковые ранги и добавляются в числитель расчетной формулы.

(9.6)

, (9.7)

где n – число одинаковых рангов в первом столбце, k – число одинаковых рангов во втором столбце.

Если имеется две группы одинаковых рангов в каком-либо столбце, то формула поправки несколько усложняется:

, (9.8)

где n – число одинаковых рангов в первой группе ранжируемого столбца, k – число одинаковых рангов во второй группе ранжируемого столбца.

Модификация формулы в общем случае такова:

. (9.9)

Пример 9.4.Психолог, используя тест умственного развития (ШТУР), проводит исследование интеллекта у 12 учащихся 9 класса, одновременно с этим он просит учителей литературы и математики провести ранжирование этих же учащихся по показателям умственного развития. Задача заключается в том, чтобы определить, как связаны между собой объективные показатели умственного развития (данные ШТУРа) и экспертные оценки учителей.

Решение. Прежде всего, сформулируем гипотезы.

Н₀: связь между объективными показателями умственного развития (данные ШТУРа) и экспертными оценками учителей отсутствует.

Н₁: связь между объективными показателями умственного развития (данные ШТУРа) и экспертными оценками учителей присутствует.

Экспериментальные данные этой задачи и дополнительные столбцы, необходимые для расчета коэффициента корреляции Спирмена, представим в виде таблицы 9.4.

Таблица 9.4

Поскольку при ранжировании были использованы одинаковые ранги, то необходимо проверить правильность ранжирования во втором, третьем и четвертом столбцах таблицы. Суммирование в каждом из этих столбцов дает одинаковую сумму – 78.

Проверяем по расчетной формуле. Проверка дает:

.

В пятом и шестом столбцах таблицы 9.4 приведены величи­ны разности рангов между экспертными оценками психолога по тесту ШТУР для каждого ученика и величинами экспертных оценок учителей, соответственно по математике и литературе. Сумма величин разностей рангов должна быть равна нулю. Суммирование величин D в пятом и шестом столбцах дало искомый результат. Следовательно, вычитание рангов проведено правильно. Подобную проверку необходимо делать каждый раз при проведении сложных видов ранжирования.

Теперь, прежде чем начать подсчет по формуле (9.5), необходимо рассчитать поправки на одинаковые ранги для второго, третьего и четвертого столбцов таблицы 9.4.

В нашем случае во втором столбце таблицы два одинаковых ранга, следовательно, по формуле (9.6) величина поправки D₁ будет: .

В третьем столбце три одинаковых ранга, следовательно, по формуле (9.7) величина поправки D₂ будет: .

В четвертом столбце таблицы две группы по три одинаковых ранга, следовательно, по формуле (9.8) величина поправки D₃ будет: .

Отметим, что в некоторых руководствах формула расчета коэффициента ранговой корреляции несколько иная – добавки находятся в знаменателе, а не в числителе.

Прежде чем приступить к решению задачи, напомним, что психолог выясняет два вопроса – как связаны величины рангов по тесту ШТУР с экспертными оценками по математике и по литературе. Именно поэтому расчет придется проводить дважды.

Считаем первый ранговый коэффициент ρ_эмп с учетом доба­вок по формуле (9.9). Получаем:

.

Подсчитаем без учета добавки:

.

Как видим – разница в величинах коэффициентов корреляции оказалась очень незначительной.

Считаем второй ранговый коэффициент ρ_эмп с учетом добавок по формуле (9.9). Получаем:

.

Подсчитаем без учета добавки:

.

И опять различия оказались очень незначительны.

Поскольку число учащихся в обоих случаях одинаково, по таблице 2 приложения 1 находим критические значения при n = 12 сразу для обоих коэффициентов корреляции. В привычной форме записи получаем следующее:

Откладываем первое значение ρ на «оси значимости».

В первом случае полученный коэффициент ранговой корреляции находится в зоне значимости. Поэтому психолог должен отклонить нулевую Н₀ гипотезу о сходстве коэффициента корреляции с нулем и принять альтернативную Н₁ о значимом отличии коэффициента корреляции от нуля. Иными словами, полученный результат говорит о том, что, чем выше экспертные оценки учащихся по тесту ШТУР, тем выше их экспертные оценки по математике.

Откладываем второе значение ρ_эмп на «оси значимости».

Во втором случае коэффициент ранговой корреляции находится в зоне неопределенности. Поэтому психолог может принять нулевую Н₀ гипотезу о сходстве коэффициента корреляции с нулем и отклонить альтернативную Н₁ о значимом отличии коэффициента корреляции от нуля. В этом случае полученный результат говорит о том, что экспертные оценки учащихся по тесту ШТУР не связаны с экспертными оценками по литературе.

Замечание. Для более полного осмысления экспериментального материала, получаемого в психологических исследованиях, целесообразно, на наш взгляд, осуществлять подсчет коэффициентов корреляции и по Пирсону, и по Спирмену. При этом не следует забывать, однако, что первый коэффициент соотносит значения величин, а второй – значения рангов этих величин. Именно потому значения этих двух коэффициентов чаще всего оказываются несовпадающими, и их совместная интерпретация целиком определяется задачей, стоящей перед психологом.

Для применения коэффициента корреляции Спирмена необходимо соблюдать следующие условия:

1. Сравниваемые переменные должны быть получены в порядковой (ранговой) шкале, но могут быть измерены также в шкале интервалов и отношений.

2. Характер распределения коррелируемых величин не имеет значения.

3. Число варьирующих признаков в сравниваемых переменных X и Y должно быть одинаковым.

4. Таблицы для определения критических значений коэффициента корреляции Спирмена (таблица 2 приложения 1) рассчитаны от числа признаков, равных n = 5 до n = 40, и при большем числе сравниваемых переменных следует использовать таблицу для пирсоновского коэффициента корреляции (таблицу 1 приложения 1). Нахождение критических значений осуществляется при k = n.