Коэффициент корреляции Пирсона

Термин «корреляция» был введен в науку выдающимся английским естествоиспытателем Френсисом Гальтоном в 1886 г. Однако точную формулу для подсчета коэффициента корреляции разработал его ученик Карл Пирсон. Знакомство с корреляционным анализом мы начнем с изучения этого коэффициента. Сам коэффициент характеризует наличие только линейной связи между признаками, обозначаемыми, как правило, символами X и Y. Формула расчета коэффициента корреляции построена таким образом, что, если связь между признаками имеет линейный характер, коэффициент Пирсона точно устанавливает тесноту этой связи. Поэтому он называется также коэффициентом линейной корреляции Пирсона.

Величина коэффициента линейной корреляции Пирсона не может превышать +1 и быть меньше чем -1. Эти два числа +1 и -1 – являются границами для коэффициента корреляции. Когда при расчете получается величина большая +1 или меньшая -1 – следовательно, произошла ошибка в вычислениях.

Если коэффициент корреляции по модулю оказывается близким к 1, то это соответствует высокому уровню связи между переменными. Так, в частности, при корреляции переменной величины с самой собой величина коэффициента корреляции будет равна +1. Подобная связь характеризует прямо пропорциональную зависимость. Если же значения переменной X будут распложены в порядке возрастания, а те же значения (обозначенные теперь уже как переменная Y) будут распола­гаться в порядке убывания, то в этом случае корреляция между переменными X и Y будет равна точно –1. Такая величина коэффициента корреляции характеризует обратно пропорциональную зависимость.

Знак коэффициента корреляции очень важен для интерпретации полученной связи. Подчеркнем еще раз, что если знак коэффициента линейной корреляции – плюс, то связь между коррелирующими признаками такова, что большей величине одного признака (переменной) соответствует большая величина другого признака (другой переменной). Иными словами, если один показатель (переменная) увеличивается, то соответственно увеличивается и другой показатель (переменная). Такая зависимость носит название прямо пропорциональной зависимости.

Если же получен знак минус, то большей величине одного признака соответствует меньшая величина другого. Иначе говоря, при наличии знака минус, увеличению одной переменной (признака, значения) соответствует уменьшение другой переменной. Такая зависимость носит название обратно пропорциональной зависимости. При этом выбор переменной, которой приписывается характер (тенденция) возрастания – произволен. Это может быть как переменная X, так и переменная Y. Однако если психолог будет считать, что увеличивается переменная X, то переменная Y будет соответственно уменьшаться, и наоборот. Эти положения очень важно четко усвоить для правильной интерпретации полученной корреляционной зависимости.

В общем виде формула для подсчета коэффициента корреляции такова:

, (9.1)

где x_i – значения, принимаемые переменной X;

y_i – значения, принимаемые переменной Y;

М_х – средняя по X;

М_у – средняя по Y.

Расчет коэффициента корреляции Пирсона предполагает, что переменные X и Y распределены нормально.

Формула (9.1) предполагает, что из каждого значения x_i переменной X, должно вычитаться ее среднее значение М_х. Это неудобно. Поэтому для расчета коэффициента корреляции используют не эту формулу, а ее аналог, получаемый простыми преобразованиями:

, (9.2)

где и ,

или модификацию этой формулы:

. (9.3)

Согласно формулам (9.2) и (9.3) необходимо подсчитать сумму каждой переменной, сумму квадратов каждой переменной и сумму последовательных произведений переменных друг на друга. Подчеркнем, что сумма квадратов – не равняется квадрату суммы!

Обратим внимание еще вот на какое обстоятельство. В формуле (9.1) встречается величины

. (9.4)

При делении на n (число значений переменной X или Y) она называется ковариацией. Выражение (9.4) может быть подсчитано только в тех случаях, когда число значений переменной X равно числу значений переменной Y и равно n. Формула (9.4) предполагает также, что при расчете коэффициентов корреляции нельзя произвольно переставлять элементы в коррелируемых столбцах, как это делается, например, в случае расчета по критерию S Джонкира.

Используя формулу (9.3), решим следующую задачу.

Пример 9.1.20 школьникам были даны тесты на наглядно-образное и вербальное мышление. Измерялось среднее время решения заданий теста в секундах. Психолога интересует вопрос: существует ли взаимосвязь между временем решения этих задач? Переменная X обозначает среднее время решения наглядно-образных, а переменная Y – среднее время решения вербальных заданий тестов.

Решение. Прежде всего, сформулируем гипотезы.

Н₀: связь между временем решения наглядно-образных и вербальных задач отсутствует.

Н₁: связь между временем решения наглядно-образных и вербальных задач присутствует.

Представим исходные данные в виде таблицы, в которой введены дополнительные столб­цы, необходимые для расчета по формуле (9.3). В таблице 9.1 даны индивидуальные значения переменных X и Y, построчные произведения переменных Х и Y, квадраты переменных всех индивидуальных значений переменных X и Y, а также суммы всех вышеперечисленных величин.

Таблица 9.1

Рассчитываем эмпирическую величину коэффициента корреляции по формуле (9.3).

.

Определяем критические значения для полученного коэффициента корреляции по таблице критических значений коэффициента корреляции Пирсона (таблица 1 приложения 1). Особо отметим, что в этой таблице величины критических значений коэффициентов линейной корреляции Пирсона даны по абсолютной величине. Следовательно, при получении как положительного, так и отрицательного коэффициента корреляции по формуле (9.3) оценка уровня значимости этого коэффициента проводится по той же таблице без учета знака, а знак добавляется для дальнейшей интерпретации характера связи между переменными X и Y.

При нахождении критических значений для вычисленного коэффициента линейной корреляции Пирсона г_эмп число степеней свободы рассчитывается как k = n – 2. В нашем случае к = 20, поэтому n – 2 = 20 – 2 = 18. В первом столбце таблицы 1 приложения 1 в строке, обозначенной числом 18, находим:

Строим соответствующую ось значимости.

Ввиду того, что величина расчетного коэффициента корреляции попала в зону значимости – гипотеза Н₀ отвергается и принимается гипотеза Н₁. Иными словами, связь между временем решения наглядно-образных и вербальных задач статистически значима на 1% уровне и положительна. Полученная прямо пропорциональная зависимость говорит о том, что чем выше среднее время решения наглядно-образных задач, тем выше среднее время решения вербальных, и наоборот.

Для применения коэффициента корреляции Пирсона необходимо соблюдать следующие условия:

1. Сравниваемые переменные должны быть получены в интервальной шкале или шкале отношений.

2. Распределения переменных Х и Y должны быть близки к нормальному.

3. Число варьирующих признаков в сравниваемых переменных X и Y должно быть одинаковым.

4. Таблицы уровней значимости для коэффициента корреляции Пирсона рассчитаны от n = 5 до n = 1000. Оценка уровня значимости по таблицам осуществ­ляется при числе степеней свободы k = n – 2.