Исследуемого явления

Рассмотрим метод расчета индексов сезонности по отношению к тренду. Исходные данные динамики объема продаж молочной продукции по кварталам 2013-2015г. представлены в таблице 5.5.3

Произведем расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение мультипликативной модели временного ряда.

Общий вид мультипликативной модели следующий:

Y = T · S · E, (5.12)

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой (T), сезонной (S) и случайной (Е) компонент.

Таблица 5.5.3 – Данные объема продаж молочной продукции

Год	Квартал	Время, t	Объем продаж продукции ( ), тонн
	I		9738,3
II		8558,4
III
IV		9349,8
	I		10322,3
II		8994,8
III
IV		14422,8
	I		15160,5
II		16398,1
𝛴

Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени, разделив полученные суммы на 4. Отметим, что полученные таким образом выравненные значения уже не содержат сезонной компоненты (!).

Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние (таблица 5.5.4).

Таблица 5.5.4 - Выравнивание уровней ряда методом скользящей средней

Для расчета сезонной компоненты S_i используются ее оценки (коэффициенты).

Для рассмотренного примера найдем средние за каждый период оценки сезонной компоненты. Сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В мультипликативной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. Число периодов одного цикла равно 4.

Таблица 5.5.5 - Расчетная таблица составляющих сезонной компоненты

Для данной модели имеем:

1,079 + 0,841 + 0,608 + 0,703 = 3,231

Корректирующий коэффициент: k = 4/3,231 = 1,238

Скорректированные значения сезонной компоненты S_i получаются при умножении ее средней оценки на корректирующий коэффициент k.

Проверяем условие равенства суммы значений сезонной компоненты:

1,336 + 1,041 + 0,753 + 0,870 = 4

Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. В результате получим величины T · E = Y/S, которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Предполагая, что фактические уровни у имеют линейный тренд, и, ведя счет времени от начала ряда (t=1,2, 3, ...n), подсчитываем все необходимые суммы (таблица 5.5.6).

Таблица 5.5.6 – Данные расчета параметров уравнения регрессии

t	yt			yt * t
	7288,76		53126051,9	7288,76
	8224,64		67644630,27	16449,27
	10064,24		101288958,87	30192,72
	10744,59		115446194,04	42978,36
	7725,86		59688985,48	38629,32
	8644,02		74719023,71	51864,1
	15401,74		237213649,05	107812,19
	16574,37		274709792,12	132594,97
	11347,08		128756242,15	102123,73
	15758,6			157585,99
Итого: 55	111773,9		1360926980,57	687519,42

По этим суммам и определяем параметры а и b, решая систему нормальных уравнений:

– среднее значение .

Найденные значения сумм подставим в систему нормальных уравнений:

Значения параметров уравнения a и b составят: a = 6326,53, b = 881,98.

Определим компоненту T данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (T · E) с помощью линейного тренда: ŷ_t = 6326,53+881,98∙t.

Подставляя в это уравнение значения t = 1,...,10, найдем теоретические значения уровней ряда (ŷ_t) для каждого момента времени, после чего, умножим значения ŷ_t на соответствующие значения сезонной компоненты (таблица 5.5.7).

Таблица 5.5.7 - Расчет величин индексов сезонности по отношению к тренду

Определение прогнозных значений уровней временного ряда (объемов продаж анализируемого предприятия) по мультипликативной модели осуществляется с помощью выражений (5.13):

(5.13)

Подставляя соответствующие значения t и сезонных компонент (на основе данных таблицы 5.5.7), получаем прогнозные значения показателей предприятия на III, IV кварталы 2015 года, а также I и II кварталы 2016 г.:

III квартал 2015 года = (6326,53+881,98*11) * 1,336 = 21413,83 тонн;

IV квартал 2015 года = (6326,53+881,98*12) * 1,041 = 17603,61 тонн;

I квартал 2016 года = (6326,53+881,98*13) * 0,753 = 13397,58 тонн;

II квартал 2016 года = (6326,53+881,98*14) * 0,87=16246,60 тонн.

Ниже представлены примеры для самостоятельного решения заданий по рассматриваемой теме.

Пример № 5.1. Имеются данные о количестве вагонов, отправленных с одной

станции (шт)

Пример № 5.2. Имеются данные о реализации картофеля на рынках города (тонн)

Пример № 5.3. Имеются данные доходов предприятия ОАО «РСУ №3» по комплексному техническому обслуживанию лифтового оборудования, (млн.руб)

Пример № 5.4. Динамика количества договоров по ОСАГО по месяцам в 2004-20011гг. (млн.ед.)

Пример № 5.5. Динамика сборов по ОСАГО по месяцам в 2004-2011гг., (млрд.руб)

Вопросы для самопроверки по 5 разделу

1. Перечислите основные составляющие уровней временного ряда.

2. Что характеризует детерминированная компонента в уравнении тренда?

3. Что отражает стохастическая компонента в уравнении тренда?

4. Что отражает циклическая (сезонная) компонента в уравнении тренда?

5. Сущность процедуры определения наличия тренда уровней временного ряда.

6. Процедура подтверждения гипотезы об отсутствии тренда уровней временного ряда по t-критерию Стьюдента.

7. Сущность процедуры проверки случайности колебаний остаточной погрешности уровней временного ряда.

8. Сущность основных подходов по выявлению сезонности уровней динамических (временных) рядов.

9. В чем сущность критерия Дарбина – Уотсона?

10. Укажите наиболее оптимальный период для исследования сезонной составляющей временного ряда.

11. Особенности коррекции прогнозных значений временных рядов на основе аддитивных и мультипликативных моделей.