Колебания цепочки атомов 2-х сортов

Предположим, что имеем цепочку легких атомов с массой m и тяжелых с массой M (см. рисунок 7.5). Расстояние между атомами - a.

Пусть легкие атомы занимают четные положения, а тяжелые - нечетные. Запишем законы движения для легких и тяжелых частиц. Обозначим u_2n - смещение атома с массой m, u_2n-1 - смещение атома с массой M. Учтем влияние лишь ближайших соседей на движение данного атома. Влиянием более удаленных частиц будем пренебрегать.

Тогда для легких частиц:

,

а для тяжелых частиц:

.

С учетом того, что колебания атомов разных масс могут происходить с различными амплитудами u₁ и u_2, решение этой системы уравнений будем искать в следующем виде:

,

.

Подставим эти решения в уравнения движения и, сократив общий множитель в каждом из уравнений, получим систему уравнений относительно u₁ и u₂:

(2b-mw²) u₁ -2 b cos (ka) u₂=0

-2 b cos (ka) u₁ + (2b-Mw²) u₂=0

Система линейных однородных уравнений будет иметь ненулевое решение в том случае, если определитель равен нулю.

Отсюда получаем уравнение, связывающее частоту w и волновое число k:

Корни этого уравнения

.

Отрицательные значения w не имеют физического смысла. Поэтому каждому волновому числу k соответствуют два значения w, а, следовательно, и две моды колебаний.

Итак, решение задачи о колебаниях атомов двух сортов в цепочке, приводит к двум кривым зависимости w(k), которые получили название двух ветвей закона дисперсии (см. рисунок 7.6). Нижнюю кривую называют акустической ветвью, верхнюю - оптической ветвью. Во всем интервале изменений волновых чисел k частота оптических колебаний больше частоты акустических.

Нижняя ветвь ведет себя аналогично кривой для одноатомной цепочки, поэтому она получила название акустической. Верхняя ветвь достигает максимальных значений при k=0 и принимает минимальные значения при . Эту ветвь называют оптической, так как длинноволновые оптические моды в ионных кристаллах могут взаимодействовать с электромагнитным излучением.

Как видно из рисунка 7.6, две ветви разделены полосой запрещенных частот (заштрихованная область на рисунке), в которой уравнения движения не имеют решения. Однако если в цепочке заменить, например, один или несколько атомов массы M на атомы массы m, т.е. ввести в структуру дефекты, то в запрещенной области частот появятся решения, которые называют локальными модами.

Выясним физический смысл различия между акустическими и оптическими модами колебаний атомов в цепочке.

Если рассмотреть нижнюю ветвь колебаний, то для нее амплитуды колебаний легких и тяжелых частиц будут равны (см. рисунок 7.7). Отсюда следует, что для нижней ветви спектра, колебания, смещается синхронно с одинаковыми амплитудами. Фактически для нижней ветви спектр колебаний будет представлять синусоиду, в которой смещаются вверх - вниз синхронно легкие и тяжелые атомы и соответственно их центры масс.

Рассмотрим верхнюю ветвь колебаний. Для колебания легких и тяжелых частиц происходят в противофазе, причем центр масс не меняет своего положения (см. рисунок 7.8).

Таким образом, в цепочке, состоящей их атомов двух сортов атомов, происходит разделение колебаний на акустическую и оптическую ветви. При этом частота оптических колебаний слабо зависит от волнового числа к, а для акустической ветви эта зависимость более сильная. Естественно предположить, что с усложнением модели и ее обобщением на 3-х мерный случай, спектр колебания также будет представлять набор ветвей колебаний (часть акустических, часть оптических). Спектр колебания реальных материалов также может быть представлен в виде ветвей колебаний, что соответствует экспериментальным данным.

Фононы

Колебания передаются от частицы к частице и распространяются в виде волн. Всякое колебание можно разложить на два поперечных и одно продольное. Любое сложное (не синусоидальное) колебание можно представить в виде суммы синусоидальных колебаний разных периодов и амплитуд (метод Фурье). Таким образом, в кристалле установится система продольных и поперечных синусоидальных волн. Полное число независимых волн в кристалле равно утроенному числу узлов кристаллической решетки. Эти продольные и поперечные волны доходят до поверхности кристалла, отражаются от нее и, налагаясь на встречные волны, образуют сложную систему стоячих волн.

Аналогично тому, как в струне, закрепленной на концах, могут возникать стоячие волны вполне определенных длин (в длине струны должно укладываться целое число полуволн), в кристалле тоже устанавливаются серии дискретных стоячих волн, связанные с размерами кристалла и с его упругими свойствами.

Механизм этих тепловых упругих волн в кристаллах аналогичен механизму звуковых волн, поэтому их обычно называют акустическими волнами. Диапазон частот тепловых волн очень широк - от звуковых частот 10² до 10¹³ Гц.

Скорость распространения тепловых волн совпадает со скоростью распространения звука. Энергия распределяется между всеми видами волн, но большая часть ее приходится на короткие волны. Теория тепловых упругих волн в кристаллах была разработана голландским физиком Дебаем в 1912 г.

Подобно энергии электромагнитных волн, энергия тепловых акустических волн тоже квантована. Аналогично кванту световой энергии фотону, квант звуковой энергии назван фононом.Энергия фонона выражается произведением постоянной Планка на частоту:

E=hν

где Е - энергия фонона, h - постоянная Планка, ν - частота колебания.

Фононы относятся к категории квазичастиц. Основное отличие квазичастиц от обычных частиц (электронов, протонов, нейтронов, фотонов) заключается в том, что квазичастицы не могут существовать в вакууме: для своего возникновения и существования они нуждаются в некоторой вещественной среде.

Фононы являются элементарными носителями движения в системе частиц, входящих в кристаллическую решетку и связанных друг с другом силами взаимодействия.

В газах частицы одновременно выполняют две функции: они являются элементарными «кирпичиками» самого вещества газа, т. е. выполняют функцию структурных единиц системы, и одновременно являются элементарными носителями движения в этой системе. В твердом теле две эти функции разделяются: атомы, молекулы или ионы представляют собой структурные единицы твердого тела, а фононы - структурные единицы переноса энергии в твердом теле.

В соответствие с постулатами квантовой механики частицы не могут находиться в покое даже при абсолютном нуле, так как это противоречит принципу неопределенности. Если частица покоится, то ее координаты точно фиксированы, но тогда неопределенность в импульсе частицы будет бесконечно большой, т. е. частица будет обладать большой кинетической энергией. Это противоречие позволяет сделать заключение, что самое низкое энергетическое состояние тела при Т = 0° К тоже будет особым состоянием движения - так называемое нулевое движение. Особенность нулевого движения состоит в том, что оно не имеет дискретных характеристик, квазичастицы при этом как бы отсутствуют. Свойства твердого тела определяются не только свойствами его частиц и квазичастиц, но и характером нулевого движения.

Совокупность динамических свойств квазичастиц в кристалле и характер его основного состояния (нулевого движения) образует то, что принято называть энергетическим спектромтвердого тела. Энергетический спектр фононов можно установить, изучая неупругое рассеяние медленных (тепловых) нейтронов на фононах решетки.

Дискретность (квантовый характер) дебаевских тепловых волн проявляется при температурах ниже характеристической температуры Дебая Q, определяемой соотношением

Q= hν_макс/k,

где ν_макс - максимальная частота тепловых колебаний частиц, свойственных данному твердому телу, k - постоянная Больцмана.

Сущность характеристической температуры Q можно пояснить следующими рассуждениями. Из классической теории газовых теплоемкостей известно, что средняя кинетическая энергия теплового движения молекулы, приходящаяся на одну степень свободы равна 1/2kT. В колебательном тепловом движении узлов кристаллической решетки средние значения кинетической и потенциальной энергии одинаковы, следовательно, полная энергия, приходящаяся на одну степень свободы, будет вдвое больше, т. е. равна kT. Когда средняя энергия, приходящаяся на одну степень свободы, будет значительно превосходить максимальную энергию фононов, тогда могут возбуждаться колебания любых возможных для данного твердого тела частот, и квантовый характер тепловых волн не проявляется. Если же энергия kT при низких температурах становится меньше энергии фононов максимальной частоты, то тогда высокочастотные колебания уже не могут быть возбуждены. Таким образом, температурным рубежом, ниже которого начинает проявляться квантовый характер тепловых волн, является характеристическая температура Дебая.

Дебаевская температура зависит от величины сил связи между узлами кристаллической решетки и является параметром твердого тела, который фигурирует в описании ряда свойств твердого тела (электропроводность, теплопроводность и др.). Для большинства веществ дебаевская температура лежит в пределах 300 - 800 ^ºС, но есть такие вещества, для которых она значительно выше. Например, у алмаза характеристическая температура около 2000^º С.

Лекция 8