Одномерные колебания однородной струны


 

Рассмотрим распространение продольных волн в однородной неограниченной струне с линейной плотностью r. В этом случае движение каждого из элементов струны происходит лишь в направлении ее длины. При распространении продольной волны на элемент толщиной Dx (см. рисунок 7.1) действуют силы: слева Ss(x) и справа Ss(x+Dx), где S - площадь поперечного сечения струны, s(x) и s(x+Dx) - нормальные упругие напряжения.

 

 
 

На элемент Dx действует результирующая сила

 

F= Ss(x+Dx) - Ss(x).

 

Под действием этой силы элемент Dx испытывает смещение.

Обозначив u(x,t) смещение центра масс элемента Dx, запишем в соответствии со вторым законом Ньютона уравнение его движения

 

rSDx = Ss(x+Dx) - Ss(x),

здесь rSDx=m - масса элемента Dx, а - ускорение. Уравнение можно переписать в виде

 

r = .

 

При Dx®0 оно перейдет в уравнение

 

r = .

 

Согласно закону Гука для изотропных твердых тел

 

s=Еe,

где Е - модуль упругости (модуль Юнга), - деформация в точке.

Отсюда

= Е = Е .

 

Тогда уравнение движения для смещения u(x,t) окончательно примет вид

 

= .

 

Это обычное волновое уравнение для упругих волн, распространяющихся вдоль струны. Решение этого уравнения будем искать в виде бегущей монохроматической волны:

 

u=u0exp[i(kx-wt)]= u0 sin 2p (x/l-νt)= u0sin(kx-wt)

где u0 - амплитуда колебания, ν - частота колебаний, w = 2pν - круговая частота, t - время, l - длина волны, k = 2p/l - волновое число.

После подстановки последнего выражения в волновое уравнение получим дисперсионное соотношение

 

.

 

Из дисперсионного соотношения следует, что для упругой волны, распространяющейся в неограниченно протяженной струне, частота колебаний линейно зависит от волнового числа (см. рисунок 7.2).

 
 

При этом скорость распространения волны для данного материала - величина постоянная. Для железной струны (E=2,1×1011 Па, r=7,8×103 кг/м3) имеем =5×103 м/с.

Как видно из рисунка 7.2, модуль волнового числа может меняться от 0 до ¥, а следовательно, частота колебаний меняется непрерывно от 0 до ¥. Поскольку энергия Е=2πhω, то энергия колебаний может неограниченно возрастать. Это противоречит физическим представлениям о строении кристаллической решетки. Следовательно, модель струны является слишком грубой вследствие предположения о непрерывности распределения вещества в объеме кристалла. Поэтому рассмотрим случай дискретного распределения вещества.

 



Дата добавления: 2021-11-16; просмотров: 254;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.008 сек.