Симметрией пространства и времени

Несмотря на то, что ничего принципиально нового в механике, кроме уравнения (2.1.1) нет, за прошедшие почти три века было предложено много различных приемов решения этого уравнения, когда не требуется знать траекторию r (t), а нужно только «предсказать», может ли материальная точка переместиться из одного положения в пространстве в другое [42]. Среди этих приемов выделяются те, которые основаны на законах сохранения, имеющих огромное значение не только в механике, но и во всем естествознании. Законы сохранения позволяют проанализировать возможные изменения состояния материальных точек без непосредственного расчета их траекторий. В классической механике таких законов три: законы сохранения энергии, импульса и момента импульса.

Закон сохранения энергии гласит, что полная механическая энергия Е материальной точки сохраняется при движении этой точки в поле потенциальных сил: Е = const. Так как полная механическая энергия, по определению, равна сумме потенциальной энергии П и кинетической энергии Т, то закон сохранения полной механической энергии может быть записан в виде:

Т + П = const.(2.1.3)

Следует отметить, что при движении в поле непотенциальных сил (например, силы трения) полная механическая энергия не сохраняется.

Закон сохранения импульса формулируется для замкнутой системы материальных точек и констатирует постоянство суммы их импульсов:

. (2.1.4.)

Этот закон имеет «всеобщий» характер и распространяется за пределы классической механики. В частности, он остается справедливым в релятивистской механике, где, правда, под массой m_i понимают не классическую, а релятивистскую массу, зависящую от скорости тела. Даже в квантовой механике, где импульс уже не равен произведению массы на скорость (так как понятие скорости в квантовой механике вообще отсутствует в обычном понимании этого термина), закон сохранения импульса, по-прежнему, имеет место. Этот закон, с одной стороны, «запрещает» некоторые движения, с другой стороны, открывает возможность реализации некоторых нетривиальных способов увеличения скорости (реактивное движение).

Закон сохранения момента импульса имеет большое значение, прежде всего, в связи с движением тел в поле центральных сил (например, в гравитационном поле), а также при вращении тел. В соответствии с этим законом происходит движение планет вокруг Солнца. Импульс р все время меняется, но момент импульса L = pr sina остается неизменным . Именно с сохранением момента импульса связан второй закон Кеплера, в соответствии с которым радиус-вектор планеты за одинаковые промежутки времени описывает равные площади. В случае вращающегося твердого тела его суммарный импульс равен нулю, однако момент импульса отличен от нуля и в отсутствие моментов внешних сил остается постоянным.

Триумф небесной механики в XVIII - XIX в.в. был связан именно с применением законов сохранения, а не с непосредственным решением дифференциальных уравнений.

В 1918 г. немецкий математик Эмми Нетер сформулировала замечательную теорему, согласно которой для физической системы, движение которой описывается некоторым дифференциальным уравнением, каждому непрерывному преобразованию симметрии координат и времени соответствует определенный закон сохранения и наоборот. Непрерывными преобразованиями симметрии пространства и времени являются, например, сдвиг начала отсчета времени, сдвиг начала координат и поворот осей координат в пространстве. Это означает, что поведение изолированной механической системы не зависит от того, какой момент времени принят за нулевой, в каком месте пространства помещено начало координат и как ориентированы в пространстве оси координат. Например, сила притяжения межу двумя точечными массами, находящимися на определенном расстоянии друг от друга, не изменится, если мы перейдем к другому началу отсчета времени, так как в законе всемирного тяготения время в явном виде вообще не фигурирует. Точно так же, эта сила не изменится, если мы сместим начало координат или повернем оси координат, так как сила взаимодействия определяется только взаимным расстоянием между телами. Если при смещении начала отсчета времени ничего не меняется в поведении рассматриваемых объектов, то говорят, что время однородно. Аналогично, если пространство симметрично относительно сдвига начала координат и поворота осей координат, то говорят, что пространство однородно и изотропно.

Согласно теореме Нетер, из однородности времени вытекает закон сохранения энергии, из однородности пространства - закон сохранения импульса, а из изотропности пространства - закон сохранения момента импульса.

Следует отметить, что отмеченная связь законов сохранения с симметрией пространства и времени имеет большое философское значение, так как затрагивает «вечные» онтологические вопросы. Действительно, однородность времени фактически означает отсутствие фиксированного начала его отсчета, т.е. бесконечность («вечность») времени. Однородность пространства таким же образом означает его неограниченность, бесконечность. Но тогда, если считать пространство и время формами существования материи, то аналогичный вывод можно сделать и о материальном мире: он вечен и бесконечен. В противном случае пространство и время, «оторванные» от бытия, становятся трудноопределимыми, «фиктивными» категориями.

Таким образом, являясь следствием ньютоновских уравнений движения, законы сохранения приобретают онтологический смысл, отражая метафизическое представление о пространстве и времени, которые либо свидетельствуют о вечности и бесконечности нашего мира, либо вообще «отрываются» от него, становясь схоластическими понятиями.

Вопросы для самопроверки

1. Почему механика Ньютона представляет собой пример теоретического уровня научного знания?

2. Какие идеализированные объекты и понятия используются в механике Ньютона?

3. В чем причина необычайной предсказательной “силы” ньютоновской механики?

4. Какими объектами и явлениями ограничивается область применения классической механики?

5. В чем заключается триумф небесной механики, созданной в XVII в.?

6. Чем определяется состояние материальной точки?

7. Какие законы сохранения имеют наибольшее значение в классической механике?