Базис векторного пространства

Для векторов можно определить понятия линейной комбинации, линейной зависимости и независимости аналогично тому, как эти понятия были введены для строк матрицы. Также справедливо, что если векторы линейно зависимы, то по крайней мере один из них можно линейно выразить через остальные (т.е. он является их линейной комбинацией). Верно и обратное утверждение: если один из векторов является линейной комбинацией остальных, то все эти векторы в совокупности линейно зависимы.

Отметим, что если среди векторов a_l, a₂,...a_m есть нулевой вектор, то эта совокупность векторов обязательно линейно зависима. В самом деле, мы получим l_la_l + l₂a₂ +...+ l_ma_m = 0, если, например, приравняем коэффициент l_j при нулевом векторе к единице, а все остальные коэффициенты – к нулю. При этом не все коэффициенты будут равны нулю (l_j ≠ 0).

Кроме того, если какая-то часть векторов из совокупности векторов линейно зависимы, то и все эти вектора - линейно зависимы. В самом деле, если какие-то вектора дают нулевой вектор в своей линейной комбинации с коэффициентами, которые не являются одновременно нулевыми, то к этой сумме произведений можно добавить остальные вектора, умноженные на нулевые коэффициенты, и она по-прежнему будет нулевым вектором.

Как определить, являются ли вектора линейно зависимыми?

Например, возьмем три вектора: а₁ = (1, 0, 1, 5), а₂ = (2, 1, 3, -2) и
а₃ = (3, 1, 4, 3). Составим из них матрицу, в которой они будут являться столбцами:

Тогда вопрос о линейной зависимости сведется к определению ранга этой матрицы. Если он окажется равным трем, то все три столбца – линейно независимы, а если окажется меньше, то это будет говорить о линейной зависимости векторов.

Так как ранг равен 2, вектора линейно зависимы.

Отметим, что решение задачи можно было бы начать и с рассуждений, которые основаны на определении линейной независимости. А именно, составить векторное уравнение l_la_l + l₂a₂ + l₃a₃ = 0, которое примет вид l_l*(1, 0, 1, 5) + l₂*(2, 1, 3, -2) + l₃*(3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0). Тогда мы получим систему уравнений:

Решение этой системы методом Гаусса сведется к получению той же самой ступенчатой матрицы, только в ней будет еще один столбец – свободных членов. Они все будут равны нулю, так как линейные преобразования нулей не могут привести к другому результату. Преобразованная система уравнений примет вид:

Решением этой системы будет (-с;-с; с), где с – произвольное число; например, (-1;-1;1). Это означает, что если взять l_l = -1; l₂ =-1 и l₃ = 1, то
l_la_l + l₂a₂ + l₃a₃ = 0, т.е. вектора на самом деле линейно зависимы.

Из решенного примера становится ясно, что если взять число векторов больше, чем размерность пространства, то они обязательно будут линейно зависимы. В самом деле, если бы в этом примере мы взяли пять векторов, то получили бы матрицу 4 х 5, ранг которой не мог бы оказаться больше четырех. Т.е. максимальное число линейно независимых столбцов все равно не было бы больше четырех. Два, три или четыре четырехмерных вектора могут оказаться линейно независимыми, а пять и больше – не могут. Следовательно, на плоскости могут оказаться линейно независимыми не более двух векторов. Любые три вектора в двумерном пространстве – линейно зависимы. В трехмерном пространстве любые четыре (или более) вектора – всегда линейно зависимы. И т.п.

Поэтому размерность пространства можно определить, как максимальное число линейно независимых векторов, которые могут в нем быть.

Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства R называют базисом этого пространства.

Теорема. Каждый вектор линейного пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса, и притом единственным способом.

Доказательство. Пусть векторы e_l, e₂,...e_n образуют базис n-мерного пространства R. Докажем, что любой вектор Х является линейной комбинацией этих векторов. Поскольку вместе с вектором Х число векторов станет (n +1), эти (n +1) векторов будут линейно зависимы, т.е. существуют числа l_l, l₂,..., l_n, l, не равные одновременно нулю, такие
что

l_le_l + l₂e₂ +...+ l_ne_n + lХ = 0

При этом l ¹ 0, т.к. в противном случае мы получили бы
l_le_l + l₂e₂ +...+ l_ne_n = 0, где не все коэффициенты l_l, l₂,..., l_n равны нулю. Это означает, что векторы базиса оказались бы линейно зависимы. Следовательно, можно разделить обе части первого уравнения на l:

(l_l/l)e_l + (l₂/l)e₂ +...+ (l_n/l)e_n + Х = 0

Х = -(l_l/l)e_l - (l₂/l)e₂ -...- (l_n/l)e_n

Х = x_le_l + x₂e₂ +...+ x_ne_n,

где х_j = -(l_j/l), .

Теперь докажем, что такое представление в виде линейной комбинации является единственным. Предположим противное, т.е. что существует другое представление:

Х = y_le_l + y₂e₂ +...+ y_ne_n

Вычтем из него почленно полученное ранее выражение:

0 = (y_l – х₁)e_l + (y₂ – х₂)e₂ +...+ (y_n– х_n)e_n

Так как векторы базиса линейно независимы, получим, что
(y_j - х_j) = 0, , т.е. y_j = х_j. Итак, выражение оказалось тем же самым. Теорема доказана.

Выражение Х = x_le_l + x₂e₂ +...+ x_ne_n называют разложением вектора Х по базису e_l, e₂,...e_n, а числа х_l, х₂,...х_n - координатами вектора х относительно этого базиса, или в этом базисе.

Можно доказать, что если n ненулевых векторов n-мерного евклидова пространства попарно ортогональны, то они образуют базис. В самом деле, умножим обе части равенства l_le_l + l₂e₂ +...+ l_ne_n = 0 на любой вектор е_i. Получим l_l (e_l*е_i) + l₂(e₂*е_i) +...+ l_n(e_n*е_i) = 0 Þ l_i(e_i*е_i) = 0 Þ l_i = 0 для " i.

Векторы e_l, e₂,...e_n n-мерного евклидова пространства образуют ортонормированный базис, если эти векторы попарно ортогональны и норма каждого из них равна единице, т.е. если е_i*e_j = 0 при i ≠ j и |е_i| = 1
для " i.

Теорема (без доказательства). Во всяком n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Примером ортонормированного базиса является система n единичных векторов е_i, у которых i-я компонента равна единице, а остальные компоненты равны нулю. Каждый такой вектор называется орт. Например, вектора-орты (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1) образуют базис трехмерного пространства.