Нахождение корней характеристического уравнения методом Берстоу

В разделах 2.3.1-2.3.2 был осуществлен вывод передаточной функции САР по ее структурной схеме, как зависимости от передаточной функции звеньев системы , где n – число сигналов системы.

Так как главная передаточная функция САР

, (2.14)

где X(p) и Y(p) – изображения по Лапласу соответственно входной и выходной величин

; ,

то для входного единичного ступенчатого воздействия :

,

. (2.15)

Окончательно для изображения выходной величины получим:

, (2.16)

где

Для аналитического получения переходного процесса в системе сначала нужно найти корни знаменателя (характеристического уравнения САР) . Один корень , а остальные n корней являются корнями полинома . Одним из методов нахождения любых (действительных или комплексно-сопряженных) корней полинома произвольной степени является численный метод Берстоу [1].

Сущность метода заключается в следующем. Из исходного полинома выделяется приведенный квадратный трехчлен. Если корни квадратного трехчлена являются корнями исходного полинома, то должно делиться на без остатка [1].

Таким образом, исходный полином представляется как

(2.17)

где

(2.18)

Деление без остатка означает, что коэффициенты и должны быть равны нулю. Как видно из формулы (2.18) коэффициенты и являются функциями коэффициентов трехчлена r, q и коэффициентов исходного полинома :

Так как коэффициенты исходного полинома в общем случае неизвестны, то необходимо исследовать зависимость , .

Для нахождения корней методом Берстоу необходимо выбрать начальное приближение для коэффициентов трехчлена r и q. Затем значения коэффициентов r и q уточняются с помощью коррекции

(2.19)

Требуется, чтобы остаточные члены, , обращались в ноль в процессе вычисления. Если эти функции разложить в ряд Тейлора в окрестности точки , то получим:

(2.20)

Если предположить, что при уточнении r и q остаточные члены близки к нулю, то левые части этих уравнений обратятся в нуль. Тогда, решая (2.20) относительно и и пренебрегая членами более высоких порядков, получим:

(2.21)

где и являются функциями , которые в свою очередь зависят от r и q.Поэтому необходимо получить последовательность частных производных продифференцировав коэффициенты в формуле (2.18) по r и q. Получим:

(2.22)

(2.23)

Производные используются для коррекции коэффициентов по формулам (2.21).Вычисления коэффициентов r и q по выражениям (2.21), (2.19) ведутся до тех пор, пока полученные значения коэффициентов и не будут равны нулю с некоторой точностью :

(2.23)

Это означает, что корни трехчлена являются с некоторой точностью корнями исходного полинома .

После нахождения пары корней

, (2.24)

трехчлен исключается из , и процедура повторяется для полинома степени , являющегося результатом деления в формуле (2.18):

. (2.25)

Если порядок полинома меньше или равен двум, то вычисление корней заканчивается, а оставшиеся корень или два корня находят из решения линейного или квадратного уравнения. В результате получим все корни полинома .