Диаметры линий второго порядка

Пусть вектор определяет неасимптотическое направление относительно линии второго порядка.

Рассмотрим множество середин всех хорд, параллельных этому направлению.

Задавая уравнения хорд, в качестве начальной точки будем брать именно середину хорды. Тогда

,

где – корни уравнения (*), определяющие концы хорды.

Получаем , тогда по теореме Виета в уравнении (*) , то есть координаты всех точек фигуры удовлетворяют уравнению

( )

или

.

В уравнении хотя бы один из коэффициентов при отличен от нуля (в противном случае получим , что противоречит выбору направления вектора ). Таким образом, – это уравнение прямой и каждая точка множества принадлежит этой прямой.

Можно показать, что каждая точка прямой, задаваемой уравнением , является серединой хорды, параллельной вектору , а значит, принадлежит множеству .

Таким образом, справедливо следующее утверждение

Т е о р е м а. Множество середин всех хорд линии второго порядка, параллельных неасимптотическому направлению, есть прямая, называемая диаметром, сопряженным этому направлению.

С л е д с т в и е 1. Из уравнения ( ) следует, что если линия имеет центр, то он принадлежит диаметру.

С л е д с т в и е 2. Любой диаметр нецентральной линии имеет асимптотическое направление.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Имея условие нецентральной линии и координаты направляющего вектора диаметра , несложно проверить, что

.

Тогда получим , то есть направление диаметра нецентральной линии является асимптотическим.

С л е д с т в и е 3. Парабола нецентральная линия. Её диаметры параллельны асимптотическому направлению – оси параболы.

С л е д с т в и е 4. Любая пара параллельных прямых имеет единственный диаметр – прямую центров.

Т е о р е м а (о диаметрах центральной линии). Если диаметр является множеством хорд, параллельных диаметру , то является множеством середин хорд, параллельных диаметру .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Уравнения диаметров , сопряженных направлениям векторов и соответственно имеют вид

,

.

Из условия параллельности вектора диаметру

получим, что

,

то есть выполняется условие параллельности вектора диаметру .

О п р е д е л е н и е. Два диаметра центральной линии второго порядка называются сопряженными диаметрами, если каждый из них делит пополам хорды, параллельные другому диаметру.

Пусть – диаметр, сопряженный неасимптотическому направлению . Направление, определяемое вектором , параллельным диаметру , называется сопряженным направлению . Имеем условие сопряженности двух направлений и :