Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду
Из определения алгебраической линии следует, что в произвольной аффинной системе координат уравнение линии второго порядка имеет вид:
, (1)
где .
Уравнение (1) называется общим уравнением алгебраической линии второго порядка.
Пусть относительно прямоугольной системы координат линия второго порядка задана уравнением (1).
Т е о р е м а. Для каждой линии второго порядка, заданной в прямоугольной системе координат уравнением (1), существует прямоугольная система координат , в которой линия задаётся уравнением, не содержащим члена с произведением текущих координат, то есть уравнением вида
(2).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем формулы преобразования координат при повороте осей координат на угол
(3)
Чтобы найти уравнение линии в новой системе координат, нужно в уравнение (1) подставить выражения (3) старых координат через новые. Будем искать такой угол поворота осей координат, чтобы в новом уравнении коэффициент при был равен нулю:
. (4)
В уравнении (4) . В противном случае, получим , то есть уравнение (1) уже имеет требуемый вид.
Из однородного уравнения (4) находим два значения угла , для которых коэффициент при произведении текущих координат обращается в нуль. Можно выбрать любой из них. При повороте осей координат системы на этот угол получим искомый репер .
Пусть уравнение линии второго порядка приведено к виду (2). Возможны случаи
I. .
Выделив для и полные квадраты, получим уравнение вида
, (5)
где обозначено
Отсюда получаем – формулы преобразования координат при переносе начала системы координат в точку
В зависимости от значений параметров можно получить следующие канонические уравнения
Каноническое уравнение | Название линии | |||
+ | + | - | Эллипс | |
- | - | + | ||
+ | + | + | Мнимый эллипс | |
- | - | - | ||
+ | - | Гипербола | ||
- | + | |||
+ | + | Пара мнимых пересекающихся прямых | ||
- | - | |||
+ | - | Пара пересекающихся прямых | ||
- | + |
II. .
Уравнение (2) можно записать в виде
.
Обозначив , , получим каноническое уравнение параболы: .
III. .
Уравнение линии приводится к виду . В зависимости от значений параметра получаем
– – каноническое уравнение пары параллельных прямых;
– – каноническое уравнение пары совпавших прямых;
– – каноническое уравнение пары мнимых параллельных прямых.
Таким образом, имеем 9 сортов линий второго порядка.
Чтобы привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду, надо:
1. добиться, чтобы в группе старших членов исчез член с произведением текущих координат (поворот осей координат);
2. добиться, чтобы число членов первой степени стало наименьшим (выделение полных квадратов, перенос начала системы координат);
3. если возможно, уничтожить свободный член (перенос начала системы координат).
Дата добавления: 2021-09-25; просмотров: 310;