Уравнение прямой на плоскости


Через данную точку проходит единственная прямая , параллельная данному ненулевому вектору . Вектор , как и любой другой ненулевой вектор, параллельный прямой , называется направляющим вектором прямой.

Итак, всякая прямая однозначно определяется точкой и направляющим вектором.

Пусть на плоскости задан аффинный репер и , . Точка принадлежит прямой тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны, то есть отличаются друг от друга числовым множителем: . Переходя к координатам, найдем уравнения, которым должны удовлетворять координаты точки, принадлежащей прямой:

параметрические уравнения прямой.

Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны. Имеем

каноническое уравнение прямой.

Через данную точку проходит единственная прямая , перпендикулярная данному ненулевому вектору . Вектор , как и любой другой ненулевой вектор, перпендикулярный прямой , называется нормальным вектором прямой.

Итак, всякая прямая на плоскости однозначно определяется точкой и нормальным вектором.

Точка принадлежит прямой тогда и только тогда, когда векторы и ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю. Чтобы использовать координаты векторов, необходим ортонормированный базис, а значит, на плоскости должна быть задана прямоугольная система координат . Пусть , . Выразив условие ортогональности векторов и через координаты, получим уравнение прямой :

.

Выводы:

1. Чтобы составить уравнение прямой, надо знать точку и направляющий вектор, либо точку и нормальный вектор.

2. Уравнение прямой приводится к виду , где , – общее уравнение прямой, то есть прямая является алгебраической линией первого порядка.

Т е о р е м а. Любая алгебраическая линия первого порядка является прямой.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для алгебраической линии первого порядка существует аффинная система координат, относительно которой линия задается уравнением , где . Пусть . Приведя уравнение линии к виду, напоминающему каноническое уравнение прямой , найдем точку и направляющий вектор прямой, которая совпадает с данной алгебраической линией.

Вектор не коллинеарен вектору (в противном случае будем иметь ). Если система координат прямоугольная , то будем иметь , то есть вектор ортогонален направляющему вектору прямой, а значит, является нормальным вектором прямой.

Таким образом, имеем геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой: – координаты направляющего вектора, а если система координат прямоугольная, то – координаты нормального вектора прямой.

 

 



Дата добавления: 2021-09-25; просмотров: 316;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.011 сек.