Непосредственное интегрирование

Первообразная функция и неопределенный интеграл

Функция называется первообразной функцией для функции , если или .

Если функция имеет первообразную , то она имеет бесконечное множество первообразных, причем все первообразные содержатся в выражении , где С – постоянная.

Например, для функции функция является первообразной, т.к. , т.е. .

Неопределенным интеграломот функции (или от выражения ) называется совокупность всех ее первообразных.

Обозначение: .

Здесь – знак интеграла, –подынтегральная функция, – подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования.

Отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием функции.

Например, т.к. является первообразнойдля функции , то .

Свойства неопределенного интеграла

где a – постоянная.

Если и , то

Таблица интегралов от основных элементарных функций

Перечислим интегралы от основных элементарных функций, которые в дальнейшем будем называть табличными.

Непосредственное интегрирование

Метод непосредственного интегрирования основан на применении свойств неопределенного интеграла и таблицы интегралов.

Например, найдем интеграл

Используя свойства и , получаем

К первым трем интегралам правой части применим формулу 3, а к четвертому интегралу – формулу 2:

Свойство 6° позволяет значительно расширить таблицу основных интегралов с помощью интегрирования подведением под знак дифференциала.

Например, найдем интеграл

Этот интеграл можно привести к формуле 3, преобразовав его следующим образом:

Теперь переменной интегрирования служит выражение и относительно этой переменной получается интеграл от степенной функции.

Следовательно,