В частных случаях движения

· Поступательное движение НМС.

В случае поступательного движения НМС все ее точки движутся с одинаковыми скоростями, равными скорости движения центра масс НМС: . Соотношение (4.30) в случае поступательного движения НМС примет вид:

. (4.38)

· Вращательноедвижение НМС вокруг неподвижной оси z.

В случае вращательногодвижения НМС все ее МТ движутся со скоростями , где - кратчайшее расстояние от n-й МТ до оси вращения. Соотношение (4.30) в случае вращательногодвижения НМС вокруг неподвижной оси z примет вид:

. (4.39)

· Плоскопараллельноедвижение НМС.

В случае плоскопараллельногодвижения НМС в каждый момент времени движение НМС можно рассматривать как мгновенное вращательное движение относительно оси, перпендикулярной неподвижной (основной) плоскости и проходящей через мгновенный центр скоростей . Поэтому можно использовать соотношение (4.39)

, (4.40)

где – момент инерции НМС относительно мгновенной оси, перпендикулярной к неподвижной плоскости движения и проходящей через мгновенный центр скоростей.

Используем теорему Штейнера-Гюйгенса (3.22):

,

где J_С – момент инерции НМС относительно мгновенной оси, перпендикулярной к неподвижной плоскости движения и проходящей через центр масс С, а СР^v – расстояние между мгновенным центром скоростей и центром масс.

Подставив это выражение в соотношение (4.40), получим:

или

, (4.41)

где – скорость центра масс НМС.

Теорема Кенига

Теорема:Кинетическая энергия СМТ в общем случае движения равна сумме кинетической энергии центра масс в предположении, что в нем сосредоточена вся масса СМТ, и кинетической энергии СМТ при ее движении относительно подвижной системы отсчета, перемещающейся вместе с центром масс поступательно.

Доказательство.

Введем подвижную систему отсчета с началом в центре масс С, движущуюся поступательно относительно основной инерциальной системы отсчета. Представим скорость n-й МТ, входящей в СМТ, относительно основной системы отсчета в виде (Ч.1 Кинематика):

,
где – скорость движения центра масс СМТ, а – скорость n-й точки СМТ по отношению к подвижной системе отсчета.

Подставив это выражение в соотношение (4.30), получим:

(4.42)

где – масса всей системы, – кинетическая энергия СМТ при ее движении относительно подвижной системы отсчета, перемещающейся вместе с центром масс поступательно.

На основании соотношений (4.6) и (4.16) для суммы во втором слагаемом правой части выражения (4.42) можно записать:

, так как .

Из соотношения (4.42) имеем теорему Кенига:

. (4.43)