Вопрос 5. Эффект Доплера для световых волн.

Эффект Доплера в акустике объяснялся тем, что частота колебаний, воспринимаемых приемником, определяется скоростями движения источника колебаний и приемника по отношению к среде, в которой происходит распространение звуковых волн. Эффект Доплера наблюдается также и при движении относительно друг друга источника и приемника световых волн. Так как особой среды, служащей носителем электромагнитных волн не существует, то частота световых волн, воспринимаемых приемником, определяется только относительной скоростью источника и приемника и является следствием преобразований Лоренца, изучаемых в специальной теории относительности.

Свяжем с приемником света начало координат системы К, а с источником – начало координат системы К^' (рис.15.2).

Рис.15.2

Оси Ох и О´х´ направим вдоль вектора скорости , с которой система К^' (т.е. источник) движется относительно системы К (т.е. приемника). Уравнение плоской световой волны, испускаемой источником по направлению к приемнику, в системе К^' будет иметь вид:

Е(х^',t^' ) = A^' cos[ω^' (t^' + x^'/c) + α^'], (15.29)

где ω^' – частота волны, фиксируемая в системе отсчета, связанной с источником, т.е. частота с которой колеблется источник.

Согласно принципу относительности законы природы имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета, следовательно, уравнение световой волны во всех инерциальных системах отсчета описывается одинаково, и в системе К волна описывается уравнением:

Е(х,t) = Acos[ω(t + x/c) + α], (15.30)

где ω – частота, фиксируемая в системе отсчета К, т.е. частота, воспринимаемая приемником.

Уравнение волны в системе К можно получить из уравнения (15.29), перейдя от х^' и t^' к х и t с помощью преобразований Лоренца, заменив в (15.29) х^' и t^' в соответствии с преобразованием Лоренца, и, таким образом, связав частоты световых волн, излучаемых источником ω^' и воспринимаемых приемником ω:

Если источник света равномерно движется в вакууме относительно приемника со скоростью , то регистрируемая приемником частота определяется формулой:

, (15.31)

где c – скорость света в вакууме, Θ – угол между вектором скорости и направлением наблюдения, измеряемый в системе отсчета, связанной с приемником (наблюдатетем), ω₀ – частота световых волн в случае покоящихся источника и приемника, множитель учитывает различный ход времени в системах, связанных с источником и приемником.

При угле Θ = 0 или π, когда источник движется прямо к приемнику или от него, наблюдается так называемый продольный эффект Доплера:

. (15.32)

В нерелятивистском случае, если V << с, разлагая формулу (15.32) в ряд по степеням β и пренебрегая членами порядка β², получим:

ω = ω₀ (1 - V/c) = ω₀ (1 - β). (15.33)

При удалении источникаи приемника друг от друга (при их положительной относительной скорости V > 0), согласно формуле (15.33), частота ω < ω₀, т.е. наблюдается сдвиг длины волны регистрируемого излучения в более длинноволновую область (λ > λ₀) – так называемое красное смещение. При сближении источника и приемника (при их отрицательной относительной скорости V < 0) наблюдается сдвиг в более коротковолновую область (ω > ω₀, λ < λ₀) – так называемое фиолетовое смещение. Продольный эффект Доплера, при котором изменение частоты излучения Δω = ω - ω₀ максимально, является эффектом первого порядка относительно V/c.

Из (15.33) можно найти относительное изменение частоты:

Δω/ω = - V/c. (15.34)

Из специальной теории относительности следует, что, кроме продольного эффекта для световых волн должен существовать также поперечный эффект Доплера, наблюдаемый при движении приемника перпендикулярно линии, соединяющей его с источником (приемник движется относительно источника по окружности или наоборот). При поперечном эффекте наблюдается уменьшение частоты. В этом случае Θ = π/2 и значение частоты определяется выражением:

, (15.35)

а относительное изменение частоты при поперечном эффекте Доплера

Δω/ω = - V² /2c² (15.36)

пропорционально квадрату отношения V/c (эффект второго порядка) и, следовательно, значительно меньше, чем при продольном эффекте. Поэтому обнаружение поперечного эффекта Доплера связано с большими трудностями, он не наблюдается в акустике (при V << c из (15.35) следует, что ω = ω₀), и является, следовательно, релятивистским эффектом. Экспериментальное обнаружение поперечного эффекта Доплера явилось одним из подтверждений справедливости теории относительности. Он был обнаружен в 1938 г. американским физиком Г. Айвсом. Как чисто релятивистский эффект, связанный с замедлением течения времени движущегося наблюдателя, он с успехом использовался для проверки соотношений специальной теории относительности.

Продольный эффект Доплера был впервые обнаружен в 1900 г. русским астрофизиком А.Белопольским и используется при исследовании атомов и молекул, а также в астрофизике при определении лучевых скоростей движения и угловых скоростей вращения космических тел. Тепловое движение молекул светящегося газа приводит вследствие эффекта Доплера к уширению спектральных линий. Распределение частиц газа по скоростям при их хаотическом тепловом движении вследствие эффекта Доплера приводит к соответствующему распределению по частотам излучения составляющих газовую среду частиц. Все направления скоростей частиц относительно приемника (спектрометра) равновероятны. Поэтому спектральные линии испытывают неоднородное доплеровское уширение, в регистрируемом излучении присутствуют все частоты, заключенные в интервале от ω₀ (1 – V/c) до ω₀ (1 + V/c), где ω₀ – частота, излучаемая частицами, V – скорость теплового движения частиц. Таким образом, регистрируемая ширина спектральной линии составит величину

Δω = 2 ω₀ V/c, (15.37)

называемую доплеровской шириной спектральной линии. По величине доплеровского уширения спектральных линий можно судить о скорости теплового движения молекул, а, следовательно, и о температуре светящегося газа.

Приборы, использующие эффект Доплера, получили широкое распространение в радиотехнике и радиолокации, например, в радиолокационных измерениях расстояний до движущихся объектов (доплеровские радары и лидары), в научных исследованиях, в медицине и т.д.