Решение некоторых задач из аналитической геометрии
Задача 1. Составить уравнение плоскости, которая имеет нормальный вектор и проходит через точку
Запишем уравнение плоскости в общем виде
По условию
. Следовательно, уравнение плоскости примет вид
. Для определения
воспользуемся условием того, что плоскость проходит через точку
:
, откуда
. Подставив в уравнение плоскости полученное значение
, имеем
Задача 2. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки и
и перпендикулярной к плоскости
.
Уравнение плоскости, проходящей через точку
имеет вид:
.
- проходит через точку
- проходит через точку
-условие перпендикулярности двух плоскостей
В итоге получим однородную систему линейных уравний относительно неизвестных :
Как известно, однородная система имеет ненулевое решение, если определитель, составленный из коэффициентов системы равен нулю, т.е.
,
откуда .
Задача 3. Провести плоскость через точку , параллельную плоскости
Уравнение плоскости, проходящей через точку
, имеет вид:
. Так как плоскости параллельны, то нормальные векторы также параллельны, т.е.
, откуда
. Подставив значения
в уравнение плоскости, получим
, или, после приведения подобных членов
.
Задача 4. Найти уравнения проекции прямой
на плоскость
, заданную уравнением
.
Найти уравнения проекции прямой на плоскость
равносильно найти линию пересечения плоскости
и
, проходящую через прямую
и перпендикулярную
. Т.к. точка
, то
и
, имеем
.Кроме того,
, следовательно,
. В итоге получим систему уравнений
.
Эта система имеет ненулевое решение, если
.
Раскрывая определитель, получим . Следовательно, уравнения прямой
Задача 5. Написать уравнение плоскости , проходящей через точку
и перпендикулярной к плоскостям
.
- проходит черз т. М
![]() ![]() |

Как в задаче 2:
Задача 6. Перейти от общих уравнений прямо к её каноническому виду.
Каконические уравнения прямой имеет вид
, но для решения данной задачи мы воспользуемся уравнениями прямой по двум точкам
, где
. Для определения этих двух точек поступают следующим образом:
1. Пусть , тогда +
2. Пусть , тогда +
Подставим полученные значения в уравнение, получим , откуда
Использованная литература:
1. Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко, Математика
2. Н.В. Богомолов, Практические занятия по математике
3. А.Н. Рублёв, Курс линейной алгебры и аналитической геометрии
4. Д.И. Клетеник, Сборник задач по аналитической геометрии
5. И.И. Привалов, Аналитическая геометрия
6. С.И. Фролов и др., Курс высшей математики
7. О.Н. Цубербиллер, Задачи и упражнения по аналитической геометрии
8. Э.С. Маркович, Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики
9. Н.А. Сахарников, Высшая математика
10. Н.С. Пискунов, Дифференциальное и интегральное исчисления, ч.1
11. Г.Н. Берман, Сборник задач по курсу математического анализа
12. П.Е. Дюбюк и др., Сборник задач по курсу высшей математик