Решение некоторых задач из аналитической геометрии

Задача 1. Составить уравнение плоскости, которая имеет нормальный вектор и проходит через точку

Запишем уравнение плоскости в общем виде По условию . Следовательно, уравнение плоскости примет вид . Для определения воспользуемся условием того, что плоскость проходит через точку : , откуда . Подставив в уравнение плоскости полученное значение , имеем

Задача 2. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки и и перпендикулярной к плоскости .

Уравнение плоскости, проходящей через точку имеет вид: .

- проходит через точку

- проходит через точку

-условие перпендикулярности двух плоскостей

В итоге получим однородную систему линейных уравний относительно неизвестных :

Как известно, однородная система имеет ненулевое решение, если определитель, составленный из коэффициентов системы равен нулю, т.е.

,

откуда .

Задача 3. Провести плоскость через точку , параллельную плоскости

Уравнение плоскости, проходящей через точку , имеет вид: . Так как плоскости параллельны, то нормальные векторы также параллельны, т.е. , откуда . Подставив значения в уравнение плоскости, получим , или, после приведения подобных членов .

Задача 4. Найти уравнения проекции прямой на плоскость , заданную уравнением .

Найти уравнения проекции прямой на плоскость равносильно найти линию пересечения плоскости и , проходящую через прямую и перпендикулярную . Т.к. точка , то и , имеем .Кроме того, , следовательно, . В итоге получим систему уравнений

.

Эта система имеет ненулевое решение, если

.

Раскрывая определитель, получим . Следовательно, уравнения прямой

Задача 5. Написать уравнение плоскости , проходящей через точку и перпендикулярной к плоскостям .

- проходит черз т. М

Как в задаче 2:

Задача 6. Перейти от общих уравнений прямо к её каноническому виду.

Каконические уравнения прямой имеет вид , но для решения данной задачи мы воспользуемся уравнениями прямой по двум точкам , где . Для определения этих двух точек поступают следующим образом:

1. Пусть , тогда +

2. Пусть , тогда +

Подставим полученные значения в уравнение, получим , откуда

Использованная литература:

1. Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко, Математика

2. Н.В. Богомолов, Практические занятия по математике

3. А.Н. Рублёв, Курс линейной алгебры и аналитической геометрии

4. Д.И. Клетеник, Сборник задач по аналитической геометрии

5. И.И. Привалов, Аналитическая геометрия

6. С.И. Фролов и др., Курс высшей математики

7. О.Н. Цубербиллер, Задачи и упражнения по аналитической геометрии

8. Э.С. Маркович, Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики

9. Н.А. Сахарников, Высшая математика

10. Н.С. Пискунов, Дифференциальное и интегральное исчисления, ч.1

11. Г.Н. Берман, Сборник задач по курсу математического анализа

12. П.Е. Дюбюк и др., Сборник задач по курсу высшей математик