Определенный интеграл как предел интегральных сумм, его свойства

Если функция непрерывна на отрезке и если:

1) разделить этот отрезок произвольным способом на частичных отрезков длиною ,

2) выбрать в каждом частичном отрезке по одной произвольной точке

3) вычислить значения функции в выбранных точках,

4) составить сумму ,

то она называется интегральной суммой функции на отрезке .

По-разному деля отрезок на частичных отрезков и по-разному выбирая в них по одной точке , можно для всякой заданной функции и всякого заданного отрезка составить бесчисленное множество различных интегральных сумм. При этом оказывается, что все эти различные интегральные суммы при неограниченном возрастании и при стремлении к нулю длины наибольшего частичного отрезка, имеют общий предел.

Общий предел всех интегральных сумм функции на отрезке называется определенным интегралом от функции в пределах от до и обозначается

Определенный интеграл обладает следующими свойствами:

1. При перестановке пределов изменяется знак интеграла:

2. Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

3. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

4. Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл, служит формула Н ь ю т о н а – Л е й б н и ц а

- определенный интеграл равен разности значений неопределенного интеграла при верхнем и нижнем пределах интегрирования.