Синусоидальные волны в линии с потерями

В случае присутствия диссипации в линии G и R ≠ 0. Будем по-прежнему записывать

напряжение и ток виде:

Подставляя эти выражения в телеграфные уравнения (8.1 и 8.2), получаем уравнения:

так как экспоненты сократились. (8.14)

(8.15)

Это уравнение Гельмгольца. (8.16)

Здесь (8.17)

Коэффициент γ носит название постоянной распространения. Действительная часть постоянной распространения α характеризует изменение амплитуды сигнала на единицу расстояния и носит название коэффициента затухания.

Мнимая часть β(ω) характеризует изменение фазы на единицу расстояния и носит название фазовой постоянной. Фазовая постоянная, зависящая от частоты, является аналогом волнового числа k в бездиссипативной линии.

Решением уравнения (8.16) является функция вида

(8.18)

Если то бегущая вправо волна запишется в виде:

(8.19)

Выражение (8.18) описывает встречные бегущие волны. Наблюдатель в фиксированной точке x = const видит периодические колебания напряжения во времени, а «мгновенный снимок» в момент t = const показывает периодическое изменение U вдоль пространственной переменной.

Условие постоянства фазы прямой волны (8.19) имеет вид (ωt – βx) = const. Дифференцируя это соотношение по времени, получаем

или

Скорость c_ph является фазовой скоростью: двигаясь в направлении распространения волны с этой скоростью наблюдатель будет видеть постоянную фазу бегущей волны. Поскольку фазовая постоянная зависит от частоты β = β(ω), в реальной линии с диссипацией имеет место дисперсия скорости c_ph = c_ph (ω).

Из (8.15) или

Из (8.18)

Отсюда (8.20)

Для волны, бегущей вправо, поделим напряжение (8.18) на ток (8.20) и получим волновое сопротивление линии с диссипацией:

(8.21)

Для волны, бегущей влево, знак тока поменяется.

Подытожим основные отличия реальной линии с диссипацией от идеальной линии без потерь. В реальной линии сигналы затухают с расстоянием, причём степень ослабления зависит от частоты α = α(ω). В линии с потерями имеет место дисперсия скорости распространения сигнала, то есть c_ph = c_ph (ω). Согласование реальной линии с нагрузкой требует учёта частотной зависимости волнового сопротивления ρ = ρ(ω). Дисперсия коэффициента затухания и фазовой скорости сигнала, а также волнового сопротивления линии приводит к искажению формы сложных (негармонических) сигналов.