P-поляризация падающей волны

Падающая электромагнитная волна является - поляризованной, если вектор напряжённости электрического поля волны лежит в плоскости падения. Поскольку в падающей волне векторы напряжённости электрического и магнитного поля взаимно ортогональны и ортогональны по отношению к волновому вектору падающей волны, анализ рассматриваемого случая удобно провести, если задать пространственную ориентацию вектора напряжённости магнитного поля: пусть вектор будет параллелен оси , как это было с вектором в случае - поляризации падающей волны.

Волновые векторы падающей, отражённой и преломлённой волн, введённые выше, остаются неизменными и в рассматриваемом случае.

Итак, для электромагнитного поля падающей волны имеем:

.

Используя уравнения (3) и определение волнового вектора

,

получим выражения для комплексной амплитуды вектора напряжённости электрического поля:

.

Для отражённой волны положим

и с учётом выражения для волнового вектора

получим комплексную амплитуду вектора напряжённости электрического поля:

.

Аналогичным образом определим параметры преломлённой волны

,

.

Рассмотрим условия сопряжения электромагнитного поля на границе раздела сред. Непрерывность касательных компонент векторов напряжённости магнитного поля в проекции на ось выполняется вследствие принятых выше определений ориентации этих векторов. Условие непрерывности касательных компонент векторов напряжённости магнитного поля в проекции на ось приводит к уравнению:

.

Условие непрерывности касательных компонент векторов напряжённости электрического поля в проекции на ось приводит к уравнению:

,

а условие непрерывности касательных компонент векторов напряжённости электрического поля в проекции на ось является тривиальным.

В полученные линейные алгебраические уравнения подставим уже известные зависимости и получим «магнитные» коэффициенты Френеля:

.

Сдвиг по фазе колебаний отражённой волны относительно падающей волны соответствует соотношению

.

Удобнее воспользоваться выражением для половинного угла сдвига по фазе колебаний:

.

Полученные результаты, очевидно, отличаются от соответствующих выражений для случая падения на границу раздела плоской гармонической электромагнитной волны s-поляризации.

Заметим, что имеет место результат:

.

Также как и в случае падения на границу раздела двух диэлектриков - поляризованной волны можно (принято) говорить о полном внутреннем отражении.

Выпишем явные выражения для комплексных амплитуд векторов напряжённости электрического поля:

, ,

.

Определим формально «геометрическую длину» выписанных комплексных векторных величин по правилу :

,

,

.

Полученные зависимости позволяют вычислить «электрические» коэффициенты Френеля:

,

.

Отметим две физические закономерности. В падающей и отражённой волнах (они распространяются в одной и той же среде) отношения комплексных амплитуд напряжённости магнитного поля и напряжённости электрического поля одинаковы ( ), абсолютные значения этих комплексных величин равны единице – имеем «полное внутреннее отражение». В падающей и преломлённой волне рассматриваемые отношения не совпадают между собой – эти волны распространяются в средах с различными физическими свойствами.

Сравнивая между собой выражения и для - и - поляризации падающей волны, убеждаемся, что они отличаются друг от друга. Это приводит к тому, что вектор напряжённости электрического поля произвольной плоско поляризованной падающей волны генерирует вектор напряжённости электрического поля отражённой волны, поляризация которого является сложной функцией точки наблюдения и момента времени.

Продолжим изучение явления полного внутреннего отражения для случая - поляризации падающей волны. Условие непрерывности нормальных компонент вектора магнитной индукции на границе раздела двух сред в рассматриваемом случае является тривиальным (по постановке задачи). Скачок нормальных составляющих векторов электрического смещения на границе раздела сред определяет величину поверхностной плотности сторонних электрических зарядов :

.

Подставляя в выписанное соотношение определённые выше зависимости, убеждаемся, что значение поверхностной плотности сторонних электрических зарядов на границе раздела двух диэлектриков равно нулю:

.

Поверхностная плотность «связанных» зарядов на поверхности раздела сред при необходимости может быть вычислена.

Таким образом, все требования классической электродинамики удовлетворены.

Вычислим действительные составляющие векторов напряжённости магнитного поля с учётом экспоненты с мнимым аргументом (бегущая волна). По аналогии с рассмотренным выше случаем -поляризации падающей волны введём обозначение для мгновенной фазы колебаний:

.

Мгновенные комплексные значения векторных полей для произвольной точки наблюдения на поверхности раздела имеют вид

, , ,

, ,

.

Учитывая то обстоятельство, что комплексные амплитуды электромагнитных волн действительно являются комплексными величинами, вычислим выражения для действительных значений напряжённостей электрического и магнитного полей для рассматриваемых электромагнитных волн, справедливые для произвольных моментов времени и координаты на поверхности раздела сред:

, ,

, ,

, .

Приведём явные аналитические выражения для действительных и мнимых составляющих комплексных амплитуд рассматриваемых электромагнитных волн.

, ,

,

, ,

, , , ,

,

.

Вычислим мгновенные значения векторов Умова-Пойнтинга для падающей, отражённой и преломлённой волн:

,

,

.

Проверим условие баланса нормальных компонент векторов Умова-Пойнтинга в произвольной точке поверхности раздела в произвольный момент времени.

.

Подставляя в рассматриваемое выражение входящие в него «первичные» зависимости, определённые выше для рассматриваемого случая поляризации падающей волны, можно убедиться в справедливости утверждения:

.

Отсюда следует, что в произвольной точке поверхности раздела диэлектрических сред в любой момент времени выполняется условие баланса плотностей потока электромагнитной энергии. Энергия электромагнитного поля не накапливается на поверхности раздела в течение произвольного промежутка времени внутри периода колебаний.

Осреднённые величины нормальных компонент векторов Умова-Пойнтинга падающей волны, отражённой волны и преломлённой волны на поверхности раздела сред, как и выше, определяются выражениями типа:

.

Если уравнение баланса нормальных компонент плотности потоков энергии выполняется для каждого момента времени, оно будет выполнено и для осреднённых величин:

.

Полученный результат позволяет ввести в рассмотрение коэффициент отражения и коэффициент пропускания

, .

Непосредственным вычислением можно убедиться в справедливости

результатов:

, .

Приходим к выводу, что термин «полное внутреннее отражение» является следствием рассмотрения осреднённых нормальных составляющих векторов Умова-Пойнтига.

Вернёмся к анализу зависимостей от времени мгновенных значений нормальных компонент векторов Умова-Пойнтинга. После подстановки полученных выше результатов в интересующие нас выражения можно получить следующие зависимости:

где:

, .

Значительно удобнее пользоваться эквивалентным соотношением

.

Характер зависимостей от мгновенной фазы колебаний касательных компонент векторов Умова-Пойнтинга падающей и отражённой волн продемонстрируем с помощью соотношений

, ,

касательную составляющую вектора Умова-Пойнтинга для преломлённой волны выпишем отдельно:

, .

Фазы колебаний касательных компонент векторов Умова-Пойнтинга падающей и отражённой волн совпадают с фазами колебаний соответствующих нормальных компонент векторов Умова-Пойнтинга. Изменение с течением времени касательной компоненты вектора Умова-Пойнтинга преломлённой волны описывается более сложной зависимостью.