Условие дифференцируемости на частотном языке

Давайте рассмотрим, при каких условиях цепочки, изображённые на рис. 2.14, будут приближённо дифференцирующими для гармонического (синусоидального) сигнала.

Сначала выпишем коэффициент передачи этих цепочек:

постоянные времени цепочек (2.23)

Из (2.23) виден ещё один признак хорошего дифференцирования: ωτ должно быть много меньше единицы, а постоянная времени цепочки должна быть много меньше периода синусоиды T:

то есть частота (2.24)

При этом условии в знаменателе (2.23) останется только единица, а коэффициент передачи будет |K(ω)| << 1.

Коэффициент передачи должен быть (2.25)

Обратим сразу внимание, что две цепочки, составленные из разных элементов, обладают подобными характеристиками. Более того, эти цепочки становятся идентичными при RC = L/ R.

Это означает, что на выходе наших цепочек мы получим производную от входного сигнала, если частоты будут достаточно низкими, ω << 1/τ . Естественно, мы получим производную в некотором приближении, и это приближение будет тем лучше, чем лучше выполняется неравенство (2.24).

Условие дифференцируемости на временно́м языке

Кроме частотного рассмотрения, полезно рассмотреть действие наших дифференцирующих цепочек на временно́м языке.

Рис. 2.15.

Слева – дифференцирование прямоугольного импульса.

Справа – интегрирование прямоугольного импульса.

В качестве примера рассмотрим прямоугольный импульс длительности t₀ , изображённый на рис. 2.15 слева. Прямоугольный импульс можно представить как суперпозицию (наложение) двух ступенек (показаны пунктиром на верхнем графике рис. 2.15).

Сразу отметим, что математически производная от такого прямоугольного импульса с вертикальными фронтами есть две дельта-функции ( U_{ИД ДИФФ} на рис. 2.15 слева). Это следует из того, что производная от ступеньки (функции Хевисайда) есть просто дельта-функция.

Нетрудно найти выходное напряжение в наших цепочках, воспользовавшись переходной характеристикой (2.21) – это будут две спадающие экспоненты, как показано на рис. 2.15 слева внизу.

Причём, если время релаксации τ << t₀ , (2.26)

то выходное напряжение похоже на производную от сигнала.

Таким образом, мы получили приближённое условие дифференцируемости на временном языке. Это условие приложимо и к сигналу произвольной формы, если под t₀ мы будем понимать характерную длительность сигнала.

Заметим, что условия (2.25) и (2.26) эквивалентны, а применение одного или другого зависит от того, какой язык (частотный или временно́й) используется в задаче.