АНАЛИЗ ПАРАМЕТРОВ ТОЧНОСТИ МЕХАНИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ МЕТОДОМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Виды погрешностей. Все погрешности обработки можно разделить на систематические постоянные, систематические переменные и случайные.

Систематическими постоянными погрешностями называют такие, которые при обработке партии заготовок постоянны по значению и знаку.

Систематическими переменными погрешностями называют такие, которые в процессе обработки закономерно изменяются по времени, т.е. в зависимости от числа изготовленных деталей (износ режущего инструмента, тепловые деформации).

Случайными погрешностями называют такие, которые для заготовок данной партии имеют различные значения, предсказать которые невозможно (погрешность установки заготовки и инструмента, упругие отжатая элементов технологической системы).

Вероятностно-статистический метод оценки точности основан на проведении обработки опытной партии заготовок с замерами интересующего размера.

Результаты замеров математически обрабатывают, после чего строят кривую распределения исследуемого размера. Для этого выявляют предельные значения, определяют разность между наибольшим и наименьшим размерами заготовок в данной партии Δ_р - размах колебаний или поле рассеяния размеров:

Δ_р = l_max - l_min (6.1)

Полученное значение Δ_р разбивают на равные интервалы и определяют частость повторения отклонений размеров в каждом интервале:

ω = m / n (6.2)

Где т - число заготовок, фактический размер которых находится в пределах данного интервала;

п - общее число деталей в партии.

рис. 6.1

Далее строят график (полигон) распределения размеров. Например, на графике, приведенном на рис.6.1, а, общее число деталей в исследуемой партии составляет 100 шт. Поле рассеяния размеров Δ_р = 0,16 мм. Для построения полигона размеров принято восемь размерных групп с интервалом в 0,02 мм. В первой размерной группе оказалось 5 деталей, т.е. частость ω₁ = 0,05, во второй группе - 13, т.е. частость ω₁ = 0,13 и т.д. Полученные точки соединяют прямыми.

Экспериментально установлено, что при обработке заготовок на металлорежущих станках способом автоматического получения размеров точность обработки подчиняется закону нормального распределения или кривой Гаусса (рис.6.1 б), уравнение которой

, (6.3)

где σ - среднее квадратичное отклонение; е - основание натуральных логарифмов; параметр а - является центром группирования значений аргумента (среднее арифметическое).

, (6.4)

где n - число произведенных измерений; х, - значение текущего измерения; х_cp - среднее арифметическое данных измерений:

(6.5)

Число измерений n следует брать не менее 50. Кривая нормального распределения симметрична. Ордината вершины кривой будет при х = а; она определяется из выражения

Кривая имеет точки перегиба на расстоянии x = ± σ.

Их ординаты равны

Величина σ характеризует форму кривой распределения и является мерой точности данного метода обработки. При увеличении σ вершина кривой снижается, но ветви кривой растягиваются, т.е. поле рассеяния размеров растет.

На рис.6.2 ,а схематически показаны кривые распределения диаметральных размеров при обработке партии заготовок: предварительное точение (кривая σ), чистовое точение (кривая σ₁), шлифование (кривая σ₂).

При правильном построении этапов необходимо условие σ > σ₁ > σ₂ .

Рис. 6.2

Если обрабатываются две партии одноимённых заготовок, то появляется систематическая постоянная погрешность, связанная с погрешностью настройки станка и инструмента на размер. В этом случае кривые распределения погрешностей при обработке двух партий будут смещены одна относительно другой на размер постоянной погрешности Δ_н. (рис.6.2, б)

Изучение кривых распределения погрешностей позволяет выявить соотношение между числом годных и бракованных деталей.

Предположим, что на обработку заготовок установлен допуск δ. На оси абсцисс (рис.6.2, в) этот допуск определяется величинами x₁ и х₂ от границ центра группирования. Заштрихованный участок соответствует числу заготовок, находящихся в пределах поля допуска.

Отношение этой площади этого участка к общей площади ограниченной кривой, определяет вероятность получения годных заготовок.

(6.6)

(6.7)

Если принять x /σ = z, то эти интегралы можно представить в виде функции Ф(z):

; (6.8)

; (6.9)

Вся площадь, ограниченная кривой, равна 1. Значения величин меньше единицы. Значения функций Ф(z) через десятую долю аргумента приведены в табл. 6.1.

Таблица 6.1

Окончание табл. 6.1

Из табл. 6.1 видно, что в интервале z = ±3, т.е. при x = ±3σ, площадь, ограниченная этим участком кривой, составляет 0,9973 всей площади.

Это означает, что 99,73% всех обработанных заготовок, находящихся в интервале 6^σ, будут годными и процент брака не превысит 0,27%.

Таким образом, определив для исследуемого процесса значение σ, можно установить точность данного метода обработки по величине 6^σ (правило «шести сигм»). Если принять для расчёта, например, величину 5^σ, то процент брака возрастёт до 1,24 (см. табл.6.1).

Правило «шести сигм» является достаточно точным для практических расчётов.

Пример: Установить вероятность брака деталей, если среднее квадратичное отклонение для исследуемого процесса σ = 0,075мм, а границы поля допуска (рие.6.2) расположены от центра группирования на расстоянии х₁ = 0,045мм и х₂ = 0,03мм.

Решение: Определяются значения Z₁ и Z₂:

По таблице 6.1 определяются :

F₁^’ = 0,5 Ф(z₁) = 0,5 · 0,9973 = 0,4986;

F₂^’ = 0,5 Ф(z₂) = 0,5 · 0,9545 = 0,4772.

Вероятность брака (в процентах)

p = [l - (F₁^’ + F₂^’)] · 100 = [l - (0,4986 + 0,4772)] • 100 = 2,42.