Аналитические условия равновесия плоской системы произвольно расположенных сил

Согласно § 5.4, плоская система произвольно расположенных сил находится в равновесии, когда и главный вектор, и главный момент рав­ны нулю:

Но F_гл = F_i и равенство F_гл = 0 означает, что силовой многоуголь­ник, построенный на силах данной системы, должен быть замкнут, следо­вательно, алгебраическая сумма проекций сил на каждую из двух осей координат х и у должна равняться нулю, т. е.

Главный момент и равенство М_гл = 0 означают, что

алгебраическая сумма моментов сил данной системы относительно любо­го центра приведения равняется нулю, следовательно,

Итак, для равновесия плоской системы произвольно расположенных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на оси координат х и у равнялись нулю и чтобы алгебраическая сумма моментов этих сил относительно любой точки плоскости также равнялась нулю.

Условия равновесия упрощенно запишем в виде равенств

Отметим, что выведенные ранее условия равновесия системы сходя­щихся сил, системы параллельных сил и системы пар являются частными случаями условий равновесия, полученных в этом параграфе.

При решении некоторых задач бывает целесообразно вместо одного или двух уравнений проекций составлять уравнения моментов.

Если заменить одно уравнение проекций, то условия равновесия пло­ской системы произвольно расположенных сил будут выглядеть так:

Однако следует помнить, что эти условия становятся недостаточ­ными для равновесия, когда центры моментов А и В лежат на одном пер­пендикуляре к оси х:в этом случае даже при выполнении указанных ус­ловий система сил может иметь равнодействующую, проходящую через эти точки, и, следовательно, не быть в равновесии.

Если заменить два уравнения проекций, то условия равновесия пло­ской системы произвольно расположенных сил будут выглядеть так:

Однако эти условия становятся недостаточными для равновесия, когда центры моментов А, В и С лежат на одной прямой; в этом случае даже при выполнении указанных условий система сил может иметь рав­нодействующую, проходящую через эти точки, и, следовательно, не быть в равновесии.

Условия равновесия плоской системы параллельных сил являются частным случаем условий равновесия, выведенных в этом параграфе. Ес­ли ось у расположить параллельно линиям действия системы параллель­ных сил, то уравнение равновесия X=0 обратится в тождество, а Y= F_i, т.е. алгебраическая сумма проекций сил системы на ось у будет равна алгебраической сумме этих сил. Тогда условия равновесия плоской системы параллельных сил запишутся следующим образом:

и сформулируются так: для равновесия плоской системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма всех сил равнялась нулю и чтобы алгебраическая сумма моментов всех сил отно­сительно любой точки плоскости также равнялась нулю.

Так как все виды аналитических условий равновесия действительны для любых прямоугольных осей координат, то в процессе решения одной задачи или при проверке решения оси координат можно изменить, т. е.

одни уравнения проекций сил составить для одной системы координат, а другие — для новой системы координат. Этот прием в некоторых случаях упрощает решение или проверку решения задач. При этом следует пом­нить, что число уравнений равновесия, составляемых для решения (но не для проверки решения), не должно быть больше числа условий равнове­сия, соответствующих системе сил, рассматриваемых в задаче.

При решении задач статики аналитическим способом целесообразно составлять уравнения равновесия так, чтобы в каждом из них была только одна неизвестная величина. Во многих случаях этого можно достигнуть, если рационально выбрать оси координат и центры моментов.

Пример 5.1. Горизонтальная балка, поддерживающая балкон, подвергается действию равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q = 2 кН/м (рис. 5.5). На балку у свободного конца С передается нагрузка от колонны Р = 2 кН. Расстояние от оси колонны до стены l = 1,5 м. Определить реакции заделки А.

Решение. Отбросим заделку, заменим ее реакциями и рассмотрим равнове­сие балки. Реакции стены представляют собой реактивную силу R и реактивный момент т. Реактивная сила вертикальна, так как активные силы, действующие на балку, горизонтальных составляющих не имеют. Распределенную нагрузку заме­ним ее равнодействующей ql.

Применим условия равновесия плоской системы параллельных сил и соста­вим два уравнения равновесия:

откуда R = ql + P = 210³ l,5 + 2 10³=5 10³ Н;

откуда т = Рl + ql²/2 = 2 10³ 1,5 + 2 10³ 2,25/2 = 5,25 10³ Н м.

Проверим решение, составив контрольное уравнение моментов относитель­но точки С:

Подставив значения, получим

Полученное тождество 0 = 0 свидетельствует, что решение верное.

Пример 5.2. Предохранительный клапан А парового котла соединен стерж­нем АВ с однородным рычагом CD длиной SO см и силой тяжести 10 Н, который может вращаться вокруг неподвижной оси С; диаметр клапана d - 6 см, плечо СВ = 7 см (рис. 5.6). Какой груз G нужно подвесить к концу D рычага для того, чтобы клапан сам открывался при давлении в котле р = 110 Н/см²?

Решение. Рассмотрим равновесие рычага CD. Реакция R_B клапана будет на­правлена вверх и равна

Так как реакцию Re шарнира С определять не нужно, то составим уравнение моментов относительно точки С:

Подставим значения и определим G:

Пример 5.3. На рис. 5.7 схематически изображен подъемный кран. В точке D на расстоянии 5 м от оси АВ крана подвешен груз Р = 50 кН. Сила тяжести кра­на G = 30 кН. Определить реакции подпятника А и подшипника В.

Решение. Рассмотрим равновесие крана. Реакция R_B подшипника В на­правлена перпендикулярно его оси, реакцию подпятника А разложим на две составляющие: Х_A, и Y_A. Таким образом, к крану приложена плоская система пяти произвольно расположенных сил, из которых три неизвестны. Приме­ним к этой системе аналитические условия равновесия и составим три урав­нения:

Решая первое уравнение, получим

Из второго уравнения получим

Из третьего уравнения находим

Глава 6 ТРЕНИЕ

Понятие о трении

Абсолютно гладких и абсолютно твердых тел в природе не сущест­вует, и поэтому при перемещении одного тела по поверхности другого возникает сопротивление, которое называется трением. Трение — яв­ление сопротивления относительному перемещению, возникающее меж­ду двумя телами в зонах соприкасания поверхностей по касательной к ним.

Трение — явление, чрезвычайно распространенное в природе и имеющее большое значение. На трении основана работа ременных и фрикционных передач, тормозных устройств, прокатных станов, наклон­ных транспортеров, фрикционных муфт и т. п. Трение обеспечивает сце­пление с землей и, следовательно, работу автомобилей, тракторов и дру­гих транспортных машин. При отсутствии трения человек не мог бы хо­дить. Наряду с этим трение во многих случаях является вредным сопро­тивлением, на преодоление которого затрачивается нередко весьма боль­шое количество энергии. Эти затраты энергии бесполезны и их стремятся уменьшить.

Приводим схему классификации трения по наличию и характеру движения.

Трением покоя называется трение двух тел при микросмещениях без

макросмещения {т. е. при малом относительном перемещении тел в

пределах перехода от покоя к относительному движению).

Трением движения называется трение двух тел, находящихся в от­носительном движении.

Далее рассмотрим виды трения в зависимости от наличия и характе­ра относительного движения.

Трение скольжения

Трением скольжения называется трение движения, при котором скорости тел в точке касания различны по значению и (или)

направлению. Трение скольжения, как и трение покоя, обусловлено прежде всего шероховатостью и деформацией поверхностей, а также наличием молекулярного сцепления у прижатых друг к другу тел. Тре­ние скольжения сопровождается изнашиванием, т. е. отделением или остаточной деформацией материа­ла, а также нагревом трущихся по­верхностей тел (остаточной называ­ется деформация, не исчезающая после прекращения действия внешних сил). Трение характеризуется силой трения.

Сила трения есть сила сопротивления относительному перемеще­нию двух тел при трении.

Возьмем тело, лежащее на горизонтальной шероховатой плоскости (рис 6.1). Сила тяжести G уравновешивается нормальной реакцией N. Если к телу приложить небольшую движущую силу Р, то оно не придет в движение, так как эта сила будет уравновешиваться силой трения F_тр, ко­торая является, таким образом, реакцией опорной плоскости, направлен­ной вдоль плоскости.

Если постепенно увеличивать сдвигающую силу Р, то до определен­ного ее значения тело будет оставаться в покое; при дальнейшем увели­чении силы Р тело придет в движение.

Отсюда видно, что сила трения в состоянии покоя в зависимости от степени микросмещения может изменяться от нуля до какого-то макси­мального значения F , причем по модулю сила трения F_тр всегда равна сдвигающей силе Р(если Р не больше F ).

Максимальное значение сила трения покоя имеет в момент начала относительного движения и называется наибольшей силой трения по­коя или просто силой трения покоя.

Сила трения всегда направлена в сторону, противоположную на­правлению относительного движения тела.

В XVIII в. французские ученые Амонтон, а затем Кулон провели серьезные исследования в области трения и на основе их сформулировали три основных закона трения скольжения, обычно называемых законами Кулона:

1. Сила трения не зависит от величины площади трущихся поверх­ностей.

2. Максимальная сила трения прямо пропорциональна нормальной составляющей внешних сил, действующих на поверхности тела.

3. Сила трения зависит от материала тел, состояния трущихся поверхностей, наличия ирода смазки.

Первый закон можно подтвердить следующими соображениями. Ес­ли площадь трущихся поверхностей увеличится, то увеличится и количе­ство сцепляющихся неровностей, но уменьшится давление (на единицу площади) и сопротивление относительному перемещению останется прежним.

Второй закон говорит о том, что если увеличится нормальная со­ставляющая внешних сил, действующих на поверхности тела (иначе го­воря, увеличится сила нормального давления или реакции), то во столько же раз возрастет максимальная сила трения.

Отношение силы трения F_тр к нормальной составляющей N внешних сил, действующих на поверхности тела, называется коэффициентом трения скольжения, обозначаемым f (при наибольшей силе трения покоя это отношение называется коэффициентом сцепления).

Таким образом,

(6.1)

В результате второй закон трения скольжения можно сформулиро­вать так: сила трения равна коэффициенту трения скольжения, умно­женному на силу нормального давления или реакции.

Очевидно, что коэффициент трения скольжения — величина безраз­мерная.

Нормальная реакция N опорной поверхности и сила трения F_тр дают равнодействующую R, которая называется полной реакцией опорной поверхности (рис. 6.1):

Полная реакция R составляет с нормалью к опорной поверхности ка­кой-то угол. Максимальное значение этого угла (что будет в момент на­чала движения) называется углом трения и обозначается . Из рис. 6.1 следует формула

(6.2)

т. е. коэффициент трения скольжения равен тангенсу угла трения.

Если коэффициент трения скольжения одинаков для всех направле­ний движения, то множество (геометрическое место) полных реакций образует круговой конус, который называется конусом трения (рис 6.2). Если для разных направлений движения коэффициент трения

неодинаков (например, при скольжении по дереву вдоль и поперек воло­кон), то конус трения будет некруговым.

Свойство конуса трения заключается в том, что для равновесия тела, лежащего на шероховатой поверхности, рав­нодействующая приложенных к нему актив­ных сил должна проходить внутри конуса трения.

Следовательно, при будет

Действительно, если равнодействующую Р активных сил, приложенных к телу, разло­жить на составляющие Р₁(движущая сила) и Р₂ (сила нормального давления), то

и движение окажется невозможным.

Согласно третьему закону, коэффициент трения скольжения зависит от материалов трущихся тел, качества обработки поверхностей, рода и температуры смазки.

В зависимости от наличия между сопрягаемыми поверхностями слоя смазки трение подразделяется на два вида: трение без смазочно­го материала и трение в условиях смазки.

Коэффициент трения скольжения определяют опытным путем: зна­чения его для различных условий приведены в справочниках.

Приведем ориентировочные значения коэффициентов f трения скольжения (при покое):

Металл по металлу без смазки................... 0,15...0,3

То же, со смазкой........................................ 0,1...0,18

Дерево по дереву без смазки....................... 0,4...0,6

Кожа по чугуну без смазки......................... 0,3...0,5

То же, со смазкой ........................................ 0,15

Сталь по льду.............................................. 0,02

Коэффициент трения скольжения при движении обычно меньше, чем при покое, и в первом приближении не зависит от скорости относитель­ного перемещения тел.

Методы решения задач статики при наличии трения остаются такими же, как и при отсутствии его, причем в уравнения равновесия обычно вводят максимальные значения сил трения.

Пример 6.1.Диаметр шайбы колодочного тормоза D = 500 мм, диаметр ба­рабана d = 100 мм, сила Р = 200 Н, груз G = 1500 Н, коэффициент трения f = 0,4 (рис. 6.3). Определить отношение размеров alb, при котором прекратится движе­ние. Угол АСО — прямой.

Решение. В момент, когда движение прекратится, мысленно расчленим дан­ную систему тел на две части и рассмотрим сначала равновесие барабана с шай­бой, а затем равновесие рычага с колодкой (рис. 6.4). Согласно аксиоме взаимо­действия, нормальная реакция N = N', а сила трения F_тр=F'_тр. На основании

второго закона трения скольжения равнодействующая сил трения колодки о шай­бу равна

К обеим частям системы применим условие равновесия и составим два урав­нения равновесия:

Решим полученную систему трех уравнений. Из первых двух уравнений найдем N:

Полученное выражение подставим в третье уравнение:

Полученный результат минимален. Очевидно, что движения не будет при a/b 3,75.