Моменты инерции относительно осей координат
Моменты инерции относительно декартовых осей координат , и и их начала – точки (рис. 52) – определяются выражениями:
,
,
, (142)
, (143)
где – координаты материальных точек системы. Для сплошных тел эти формулы примут вид
, ,
, .
Сумма моментов инерции относительно декартовых осей координат не зависит от ориентации этих осей в рассматриваемой точке, т.е. является величиной, инвариантной по отношению к направлению осей координат.
Для осей координат можно определить следующие три центробежных момента инерции:
, , . (144)
Центробежные моменты инерции часто называют произведениями инерции. Если центробежные моменты инерции равны нулю, оси называют главными осями инерции. Если при этом в качестве начала координат выбран центр масс, их называют главными центральными осями инерции
Моменты инерции относительно осей и точек – величины положительные. Центробежные моменты инерции могут быть как положительными, так и отрицательными.
Кроме рассмотренных моментов инерции иногда используются моменты инерции относительно координатных плоскостей , , :
, , .
Теорема Штейнера
Установим зависимость между моментами инерции системы относительно параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс. Пусть имеем две системы прямоугольных, взаимно параллельных осей координат и . Начало системы координат находится в центре масс системы (рис. 53).
По определению момента инерции относительно оси имеем:
, ,
где – масса точки , а и – координаты этой точки относительно систем и . Обозначим расстояние между осями и через .
Связь моментов инерции относительно двух параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс, составляет содержание так называемой теоремы Штейнера или Гюйгенса–Штейнера: момент инерции системы относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс произведение массы системы на квадрат расстояния между этими осями:
. (145)
Дата добавления: 2017-09-01; просмотров: 1973;