СПОСОБЫ СОСТАВЛЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Характеристическое уравнение составляется для цепи после коммутации. Оно может быть получено следующими способами:

- непосредственно на основе дифференциального уравнения вида (1.2), т.е. путем исключения из системы уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи на основании законов Кирхгофа, всех неизвестных величин, кроме одной, относительно которой и записывается уравнение;

- путем использования выражения для входного сопротивления цепи на синусоидальном токе;

- на основе выражения главного определителя.

Согласно первому способу в 1.4.1 было получено дифференциальное уравнение относительно напряжения u_C на конденсаторе для последовательной r-L-C-цепи (см. рис.1.6):

,

на базе которого записывается характеристическое уравнение

.

Следует отметить, что, поскольку линейная цепь охвачена единым переходным процессом, корни характеристического уравнения являются общими для всех свободных составляющих напряжений и токов ветвей схемы, параметры которых входят в характеристическое уравнение. Поэтому по первому способу составления характеристического уравнения в качестве величины, относительно которой оно записывается, может быть выбрана любая.

Составление характеристического уравнения по методу входного сопротивления заключается в следующем:

1. Записывается выражение для входного сопротивления цепи на переменном токе в комплексной форме ;

2. В полученном выражении jω заменяется на оператор р;

3. Полученное выражение приравнивается к нулю.

Уравнение совпадает с характеристическим.

Следует подчеркнуть, что входное сопротивление может быть записано относительно места разрыва любой ветви схемы. При этом источники энергии исключаются из схемы, а на их месте остаются их внутренние сопротивления.

Данный способ составления характеристического уравнения предполагает отсутствие в электрической схеме магнитосвязанных ветвей. При наличии таковых необходимо осуществить магнитную развязку.

Для рассматриваемой схемы (см. рис.1.6) по методу входного сопротивления имеем:

;

;

.

При составлении характеристического уравнения на основе выражения главного определителя число алгебраических уравнений, на базе которых оно записывается, равно числу неизвестных свободных составляющих токов.

Алгебраизация исходной системы интегро-дифференциальных уравнений, составленных, например, на основании законов Кирхгофа или по методу контурных токов, осуществляется заменой операций дифференцирования и интегрирования соответственно умножением и делением на оператор р. Характеристическое уравнение получается путем приравнивания записанного определителя к нулю.

Поскольку выражение для главного определителя не зависит от правых частей системы неоднородных уравнений, его составление можно производить на основе системы уравнений, записанных для полных токов.

Для рассматриваемой схемы (см. рис.1.6) для свободного режима имеем:

.

Заменив в уравнении производную и интеграл, как сказано выше, получим алгебраическое уравнение

или .

Откуда получаем

или .

Пример.

Рассмотрим применение второго и третьего способов составления характеристического уравнения на примере цепи, схема которой приведена на рис.1.7.

Входное сопротивление относительно зажимов источника

.

Заменив jω на р и приравняв полученное выражение к нулю, запишем

.

Приведя к общему знаменателю и приравняв числитель к нулю, получим характеристическое уравнение

.

Для цепи на рис.1.7 алгебраизированная система уравнений на основе метода контурных токов имеет вид

Отсюда выражение для главного определителя этой системы

.

Приравняв Δ к нулю, в итоге получим

.