ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ ПОДКЛЮЧЕНИИ

ЦЕПИ r – L – C К ИСТОЧНИКУ ЭДС

Дифференциальное уравнение, описывающее процессы в цепи на рис.1.14 после коммутации относительно *, получено в 1.4.1:

.

Рассмотрим два случая:

а) Источник постоянной ЭДС

e(t) = E;

б) Источник синусоидальной ЭДС

e(t) = E_msin(ωt + ψ).

Независимые начальные условия и получаем с помощью первого закона коммутации из анализа докоммутационного режима (ключ разомкнут, цепь отключена от источника энергии, конденсатор в общем случае предварительно заряжен до напряжения ). Следовательно, имеем:

;

.

Согласно методике расчета переходных процессов классическим методом для напряжения на конденсаторе можно записать

.

Для случая а) в установившемся режиме после коммутации имеем цепь постоянного тока (сопротивление индуктивности L равно нулю, а емкости С - бесконечности) с разрывом на месте емкости. Ток в этом режиме равен нулю, а напряжение источника приложено к емкости С.

Тогда для случая а) принужденная составляющая напряжения

.

Характеристическое уравнение цепи (см. 1.4.2)

,

решая которое, получаем

.

В зависимости от соотношения параметров цепи r, L и C возможны три типа корней характеристического уравнения и соответственно три варианта выражения для свободной составляющей:

1. Корни вещественны и отличны друг от друга , что имеет место при условии .

В этом случае свободная составляющая напряжения на конденсаторе в общем виде (см. табл.1.1)

(апериодический характер свободного режима).

2. Корни вещественны и равны друг другу, что имеет место при условии . При этом корни . Характер процесса в этом случае не отличается от рассмотренного выше случая, т.е. также является апериодическим. При уменьшении r ниже значения разряд становится колебательным. Поэтому данный случай разряда конденсатора называют предельным (критическим) апериодическим, а величину r_кр – критическим сопротивлением.

В этом случае свободная составляющая напряжения на конденсаторе в общем виде (см. табл.1.1)

(предельный апериодический характер свободного режима).

3. Корни комплексно-сопряженные, что имеет место при условии . При этом , где - коэффициент затухания; - угловая частота собственных колебаний; T₀ – период собственных колебаний.

В этом случае свободная составляющая напряжения на конденсаторе в общем виде (см. табл.1.1)

(колебательный характер свободного режима).

В каждом из рассмотренных случаев для нахождения свободной составляющей необходимо определить две постоянных интегрирования (А₁, А₂или А, ψ). Следовательно, необходимо получить еще одно уравнение, связывающее искомые величины. Для этого продифференцируем уравнения для свободных составляющих по времени (см. 1.4.3).

Для апериодического характера переходного процесса можно записать

.

Для нахождения постоянных интегрирования A₁ и A₂, учитывая, что в общем случае и по первому закону коммутации , запишем для момента времени два уравнения:

решив которые, получим A₁ и A₂:

; .

Таким образом, напряжение на конденсаторе в переходном процессе

.

Ток апериодического переходного процесса

.

Напряжение на катушке индуктивности

.

На рис.1.15 представлен качественный вид кривых , и , соответствующих апериодическому характеру переходного процесса при нулевых начальных условиях ( ; ).

Момент времени , соответствующий максимуму тока в цепи, находится из условия и равен .

Для предельного апериодического характера переходного процесса можно записать

.

Для начального момента времени t = 0₊ имеем:

Откуда получим A₁ и A₂

; .

Таким образом, напряжение на конденсаторе в переходном процессе

.

Ток предельного апериодического переходного процесса

Для колебательного характера переходного процесса можно записать

.

Для нахождения постоянных интегрирования A и ψ запишем для момента времени t = 0₊

откуда

и .

Учтем также, что

.

Тогда напряжение на конденсаторе в переходном процессе

.

.

Ток колебательного переходного процесса

.

На рис.1.16 представлен качественный вид кривых и , соответствующих колебательному переходному процессу при нулевых начальных условиях ( ; ).

В случае б) при подключении r-L-C-цепи к источнику синусоидальной ЭДС для нахождения принужденных составляющих тока в цепи и напряжения на конденсаторе следует воспользоваться символическим методом расчета, в соответствии с которым

и

,

где ; ; .

Таким образом, учитывая, что амплитудные значения синусоидальных величин и , получаем выражения принужденных составляющих тока и напряжения на конденсаторе

;

.

Для свободного режима в случае синусоидального источника ЭДС также существуют три варианта в зависимости от вида корней характеристического уравнения:

1. r > R_кр; p₁ ≠ p₂ (апериодический характер);

2. r = R_кр; p₁ = p₂ (предельный апериодический характер);

3. r < R_кр; p_1,2 = – δ ± jω₀ (колебательный характер).

Наибольший интерес представляет третий режим, связанный с появлением во время переходного процесса собственных колебаний с частотой ω₀. При этом возможны, в зависимости от соотношения частот собственных колебаний и напряжения источника, три характерные варианта: а) ω >> ω₀; б) ω << ω₀; в) ω = ω₀, которые представлены на рис.1.17.

Если значение угловой частоты ω₀ свободных колебаний почти равно угловой частоте ω источника питания(ω₀ ≈ ω), то сложение принужденной и свободной составляющих дает колебание, для которого характерно биение амплитуды [1,2].

1.6. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Сущность операторного метода заключается в том, что функции времени f (t), которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция F (p), которую называют изображением.Новая переменная p = s + jω является комплексной переменной.

В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование – делением на него [1,2]), что в свою очередь определяет переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых функций. При решении этих уравнений находятся изображения и далее путем обратного перехода – оригиналы. Важнейшим моментом при этом в практическом плане является необходимость определения только независимых начальных условий u_C (0) и i_L(0), что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом на этапе определения постоянных интегрирования.

Изображение F (p) заданной функции f (t) определяется в соответствии с прямым преобразованием Лапласа:

.

Сокращенно соответствие между изображением и оригиналом обозначается как:

F (p) f (t).

Следует отметить, что если оригинал f (t) увеличивается с ростом t, то для сходимости интеграла необходимо более быстрое убывание модуля . Функции, встречающиеся на практике при расчете переходных процессов в электрических цепях, этому условию удовлетворяют.

В качестве примера в табл.1.2 приведены операторные соотношения для наиболее характерных функций, встречающихся при анализе переходных режимов в электрических цепях.

Таблица 1.2

f(t)	А=const	t				sinωt	cosωt
F(p)

Отметим некоторые свойства изображений, полученных прямым преобразованием Лапласа:

1. Изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых:

1. При умножении оригинала на коэффициент на тот же коэффициент умножается изображение:

A f (t) AF (p).

С использованием этих свойств и данных табл.1.2, можно показать, например, что

.

Найдем изображения напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе.

Из курса математики известно изображение производной от функции f (t)

,

где f (0) – начальное значение функции f (t).

Таким образом, для напряжения на индуктивном элементе можно записать:

.

Отсюда получаем операторное сопротивление катушки индуктивности

.

Известно также изображение интеграла от функции f (t)

.

Для напряжения на конденсаторе в общем случае можно записать:

.

Тогда его операторное изображение

Отсюда получаем операторное сопротивление конденсатора

.