Виды деформаций стержня и связанные с ними геометрические характеристики поперечных сечений

При расчетах элементов конструкций используются различные геометрические характеристики поперечных сечений.

Так, например, при центральном сжатии стержня силой (рис.1.1) используется площадь поперечного сечения - . Она применяется при определении напряжений и деформаций стержня.

Рис.1.1 Центральное сжатие стержня

Стержни могут иметь различную форму поперечных сечений: круг, прямоугольник, тавр, уголок, швеллер, двутавр и др. При работе стержня на сжатие, сжимающую силу желательно прикладывать в центре тяжести сечения (рис.1.1). Координаты центра тяжести плоской фигуры (поперечного сечения стержня)определяются по формулам известным из курса теоретической механики:

,

.

(1.1)

В формулах (1.1) и - статические моменты поперечного сечения относительно осей и соответственно.

В случае работы стержня на изгиб (рис.1.2) необходимо использовать более сложные геометрические характеристики: момент инерции сечения относительно оси ; момент инерции сечения относительно оси ; центробежный момент инерции сечения относительно осей ( , , ).

Рис.1.2 Изгиб стержня

Эти геометрические характеристики входят в формулы для вычисления напряжений и перемещений .

При работе стержня на кручение (рис.1.3) используется геометрическая характеристика поперечного сечения стержня полярный момент инерции ( ).

Рис. 1.3 Кручение стержня

Эта геометрическая характеристика входит в формулы для вычисления касательных напряжений и углов закручивания (перемещений) .

Дадим определение геометрических характеристик через интегралы.

1.2 Площадь, статические моменты, координаты центра тяжести,моменты инерции поперечных сечений стержней

Рассмотрим поперечное сечение стержня произвольной формы площадью (рис.1.4). Обозначим через точку с координатами , . В окрестности точки выделим элементарную площадку площадью .

Сумма элементарных площадей по всему сечению называется площадью .

Статическим моментом сечения относительно оси ( ) называется сумма (по всему сечению) произведений элементарных площадей на координату .

Статическим моментом сечения относительно оси ( ) называется сумма (по всему сечению) произведений элементарных площадей на координату (рис. 1.4).

Статические моменты выражаются в или .

Рис.1.4

Таким образом, площадь и статические моменты сечения относительно осей , определяются через интегралы по площади:

,

,

.

(1.2)

Осевым моментом инерции сечения относительно данной оси называется сумма по всему сечению произведений элементарных площадей на квадрат их расстояний до данной оси (рис.1.5). Таким образом,

(1.3)

Полярным моментом инерции сечения относительно данной точки (полюс О) называется сумма по всему сечению произведений элементарных площадей на квадрат их расстояний до этой точки (рис.1.5).. Следовательно,

(1.4)

Осевые и полярный моменты инерции всегда положительны и выражаются в или .

Рис.1.5 К определению моментов инерции

Отметим интересное свойство: полярный момент инерции равен сумме осевых моментов инерции и относительно любой пары взаимно перпендикулярных осей и , проходящих через полюс О.

Действительно, как видно из рис.1.5 , и

.

Следовательно,

.

(1.5)

Если оси и повернуть относительно полюса на угол (рис.1.10), то и, следовательно .

Таким образом, при любом повороте осей относительно начала координат сумма осевых моментов остается постоянной

.

(1.6)

Центробежным моментом инерции сечения относительно координатных осей , называется сумма по всему сечению произведений элементарных площадей на их координаты (рис.1.5).

Таким образом,

(1.7)

Центробежный момент инерции выражается в или и может быть положительным, отрицательным и равным нулю.

Например, для прямоугольного треугольника знак зависит от положения треугольника относительно координатных осей. На рис.1.6,а показано четыре различных положения прямоугольного треугольника относительно центральных осей .

Рис.1.6 К определению знака центробежного момента инерции

Центробежный момент инерции , если сумма площадей треугольника отмеченных знаком плюс (четверти где ) больше чем сумма площадей отмеченных знаком минус рис.1.6,б.

Из последних рассуждений следует, что если одна из осей или является осью симметрии сечения, то (рис. 1.7).

Рис. 1.7 Центробежный момент для симметричных сечений