Вычисление моментов инерции относительно осей параллельных центральным осям.

Оси параллельны центральным осям , (рис.1.8). Для произвольной точки имеем: ; . Тогда

Рис.1.8

.

Таким образом, имеем . Так как ось центральная ( ) , то окончательно получим . Проводя аналогичные выкладки, будем иметь:

(1.8)

Для полярного момента инерции

.

(1.9)

Пример 1.1 Найти осевые и центробежный моменты инерции прямоугольника относительно осей (рис.1.9,а) и относительно центральных осей (рис.1.9,б)

Рис. 1.9 Прямоугольник

Зафиксируем произвольную точку прямоугольника координатами , . Вблизи точки выделим элементарную площадку площадью .

Момент инерции элементарной площадки относительно оси равен . Момент инерции элементарной горизонтальной полоски равен . Тогда момент инерции прямоугольника равен сумме по высоте сечения элементарных моментов инерции горизонтальных полосок, т.е. . Аналогично

; .

Для осевых и центробежного моментов инерции прямоугольника относительно осей проходящих через его стороны имеем:

(1.10)

Осевые и центробежный моменты инерции относительно центральных осей, в соответствии с формулами (1.8), примут вид:

;

;

.

Осевые и центробежный моменты инерции относительно центральных осей:

,

,

.

(1.11)

Пример 1.2 Определить полярный моменты инерции круга, моменты инерции круга, полукруга, четверти круга относительно центральных осей ; (рис.1.10).

Рис.1.10 К примеру 1.2

Сначала определим полярный момент инерции, а затем, учитывая равенство (1.6) и то, что найдем .

Разобьем круг на бесконечно тонкие кольца толщиной радиусом ; площадь такого кольца (рис.1.10,а). Далее суммируем элементарные полярные моменты колец вдоль радиуса, получим .

Окончательно полярный момент инерции для круга .

Осевые моменты инерции, для круга (рис.1.10,б) .

Для полукруга (рис.1.10,в) .

Для четверти круга (рис.1.10,г) .