Основные положения метода переменных состояния
Рассмотрим основные положения метода переменных состояния и его применение для анализа САУ. С математической точки зрения это предполагает использование методов матричного исчисления и векторного анализа. Подход, основанный на понятии переменных состояния системы, особенно удобен для описания многосвязных или нестационарных линейных систем, а также нелинейных систем, исследование которых с помощью методов, базирующихся на использовании передаточных функций и частотных характеристик САУ, часто бывает затруднительным. Использование математического аппарата теории матриц и матричных уравнений позволяет получить основные зависимости в компактном виде, удобном для исследования систем на ЦВМ.
Основное положение метода переменных состояния заключается в следующем. Для полного математического описания динамической системы -го порядка необходимо ввести в рассмотрение независимых переменных состояния системы . Эти переменные должны быть выбраны так, чтобы, зная начальное состояние системы в момент t = t0,можно было бы при известных на интервале t0 ≤ t ≤ t1входных воздействиях , определить состояние в момент времени .
При описании системы в пространстве состояния целесообразно разделить все сигналы, характеризующие поведение системы, на три группы:
1) входные сигналы или входные воздействия , приложенные к исследуемой системе со стороны других систем, ;
2) выходные сигналы , характеризующие реакцию системы на указанные входные воздействия, ;
3) промежуточные переменные , характеризующие внутреннее состояние системы, .
Для удобства описания каждую группу переменных можно представить в виде вектора (матрицы-столбца):
Xвх(t) = – вектор входных воздействий;
Xвых(t)= – вектор выходных переменных системы;
X(t) = – вектор переменных состояния системы.
Приведенная классификация сигналов в системе является в определенной степени условной, так, некоторые переменные состояния могут совпадать с выходными сигналами , но в общем случае между ними существует следующая зависимость:
(6.1)
В пространстве состояния,осями координат которого являются переменные состояния, каждому моменту времени соответствует вектор X(t). Величина и положение этого вектора с течением времени изменяются, в результате чего конец вектора X(t) описывает кривую, называемую траекторией движения системы в пространстве состояний.
Динамика линейной стационарной САУ -го порядка может быть описана системой линейных дифференциальных уравнений:
(6.2)
Систему уравнений (6.2) можно записать в виде следующего матричного (векторного) дифференциального уравнения:
, (6.3)
где А – матрица системы (квадратная матрица размером );
B – матрица управленияразмером .
В матричной форме система уравнений (6.1) примет вид:
, (6.4)
где С – матрица наблюдения размером .
Рис. 6.1. Структурная схема САУ в векторной форме |
Уравнения (6.3) и (6.4) называют уравнениями состояния системы.
Элементы матрицы системы Аопределяются структурной схемой системы и значениями ее параметров. Матрица управления В характеризует влияние входных сигналов на переменные состояния, а матрица наблюдения С определяет связь выходных сигналов системы с вектором состояния. Обычно не все составляющие вектора состояния являются наблюдаемыми сигналами, т. е. они не могут быть измерены с помощью каких-либо датчиков, в то время как выходные сигналы всегда наблюдаемы.
На рис. 6.1 показана структурная схема системы, соответствующая векторным уравнениям (6.3) и (6.4); двойные линии на рисунке характеризуют векторный характер сигналов.
Согласно определению понятия состояния системы, в любой момент времени
t > t0 состояние системы является функцией начального состояния X(t0) и вектора входа Xвх(t0 , t), т.е.
X(t) = F[X(t0),Xвх(t0 , t)]. (6.5)
Вектор выхода в момент t также однозначно связан с векторами X(t0) и Xвх(t0 , t):
Xвых(t) = R[X(t0),Xвх(t0 , t)]. (6.6)
Приведенные векторные дифференциальные уравнения описывают линейные стационарные САУ. В нестационарных системах элементы матрицы в уравнениях (6.3) и (6.4) являются функциями времени, и векторные дифференциальные уравнения принимают вид:
; (6.7)
. (6.8)
Дата добавления: 2017-09-01; просмотров: 1401;