Составить уравнение конической поверхности с вершиной в начале координат и направляющей

Задача 7.1. Составить уравнение сферы, радиус которой , а центр находится в точке .

Решение. Сфера – это множество точек, отстоящих от центра на одном и том же расстоянии. Следовательно, обозначив через координаты произвольной точки сферы и выразив через них равенство , будем иметь

.

Возведя обе части равенства в квадрат, получим искомое каноническое уравнение сферы:

.

Если центр сферы поместить в начало координат, то уравнение сферы имеет более простой вид:

.

Ответ. .

Задача 7.2. Составить уравнение конической поверхности с вершиной в начале координат и направляющей

(7.1)

Решение. Канонические уравнения образующих через точку и точку направляющей, имеет вид

(7.2)

Исключим , , из уравнений (7.1) и (7.2). Для этого в уравнениях (7.2) заменим на и определим и :

;

Подставив эти значения и в первое уравнение системы (7.1), будем иметь:

или

Полученное уравнение определяет конус второго порядка (см. табл. 3)

Задача 7.3. Какую поверхность определяет уравнение

Решение. Эта поверхность есть гиперболический цилиндр с образующими, параллельными оси Действительно, данное уравнение не содержит , а направляющая цилиндра есть гипербола

с центром симметрии в точке и действительной осью, параллельной оси .

Задача 7.4. Исследовать и построить поверхность, заданную уравнением

Решение. Пересечем поверхность плоскостью . В результате имеем

откуда . Это уравнение параболы в плоскости

Сечение заданной поверхности плоскостью есть парабола

Сечение плоскостью есть пара пересекающихся прямых:

Сечение плоскостями, параллельными плоскости , есть гиперболы:

При действительная ось гиперболы параллельна оси , при оси . Исследуемая поверхность является гиперболическим параболоидом (по ассоциации с формой, поверхность получила название "седло").

Замечание. Интересным свойством гиперболического параболоида является наличие прямых линий, лежащих всеми своими точками на его поверхности. Такие прямые называются прямолинейными образующими гиперболического параболоида. Через каждую точку гиперболического параболоида проходят две прямолинейные образующие.

Задача 7.5. Какую поверхность определяет уравнение

Решение. Чтобы привести данное уравнение к каноническому виду, выделим полные квадраты переменных , , :

Отсюда

Сравнивая полученное уравнение с табличными (см. табл. 3), видим, что это уравнение однополостного гиперболоида, центр которого смещен в точку Путем параллельного переноса системы координат по формулам

приведем уравнение к каноническому виду:

Замечание. Однополостный гиперболоид, как и гиперболический, имеет два семейства прямолинейных образующих.